16、无限缓冲区基本单节点排队模型解析

无限缓冲区基本单节点排队模型解析

在排队论领域，无限缓冲区的基本单节点排队模型有着重要的地位。下面将详细介绍几种常见的排队模型及其分析方法。

1. Geo/G/1 排队模型

Geo/G/1 排队模型是一种离散时间排队模型，其中顾客到达间隔时间服从几何分布，服务时间服从一般分布。

1.1 忙期分析

设 $b_i(j)$ 为 $j$ 个顾客启动的忙期持续 $i$ 个时间单位的概率。相关研究表明：
[b_i(1) = \sum_{\ell=1}^{i} s_{\ell}(1) \sum_{k=0}^{\ell} a_{(\ell)}^{k} b_{i - \ell}(k)]
其中，$a_{(\ell)}^{k}$ 是在 $\ell$ 个时间单位内有 $k$ 个顾客到达的概率，$s_i(k)$ 是 $k$ 个顾客的总服务时间恰好为 $i$ 个时间单位的概率。

1.2 均值法分析

通过建立随机变量方程：
[X_{n + 1} = (X_n - 1)^+ + A_n]
其中，$A_n$ 是第 $n$ 个和第 $(n + 1)$ 个顾客服务完成时间间隔内到达的顾客数，$X_n$ 是第 $n$ 个顾客离开后系统中剩余的顾客数。由于到达过程的独立性和同分布性，$A_n = A$。

对上述方程取期望可得：
[E[X_{n + 1}] = E[(X_n - 1)^+] + E[A]]
进一步变形为：
[X_{n + 1} = X_n - U(X_n) + A]
其中，$U(V) = \begin{cases} 1, & V &g