整数上二分查找

二分查找

前言

本文目前只对整数二分进行入门式探讨。

什么是二分查找

二分查找（Binary Search）是一种在有序数组中查找特定元素的算法。它的原理是将目标值与数组的中间元素进行比较，如果相等，则返回该元素的索引；如果目标值小于中间元素，则在数组的左半部分继续查找；如果目标值大于中间元素，则在数组的右半部分继续查找。通过每次将查找范围缩小一半，最终可以快速地找到目标值或确定其不存在。

二分查找的前提条件是数组必须是有序的，可以是升序或降序。这种算法的时间复杂度为O(log n)，其中n是数组的大小。相比于线性查找等其他方法，二分查找通常具有更高的效率。

二分查找的适用条件

那什么时候适用二分查找呢？

既然二分查找是每次通过比较中间元素来确定下一步查找的范围，那显然该组元素必须是有序的，即我们将待比较的该数组元素分为左端点、右端点、中间元素，如果中间元素小于我们的答案期望时，此时最佳元素一定落在中间元素到右端点这段区间，否则就是左端点到中间元素这段区间。那如果该组元素是无序的呢，我们通过比较中间元素然后缩小查找范围显然是不通逻辑的，例如一列无序的不重复的随机数，查找100时，中间元素是150时我们下一步就会检索左端点至中间元素这段范围，显然，这时100究竟在左半段区间还是右半段区间我们是无法确定的。

二分的两种情况

现在我们用l表示左端点，mid表示中间元素，r表示右端点。数组为单调不递减数组。

情况一：

while (l < r)
    {
        int mid = （l + r）/  2;
        if (check(mid))  r = mid;
        else l = mid + 1;
    }

check函数即是与目标元素进行比较，可以发现该情况当mid符合目标元素时，将下次待检索范围定在了l~~~mid，不符合目标元素时，下次就会检索mid+1~~r;这种情况呢就是寻找一个尽可能小的期望答案，因为我们每次都尽可能往左边去寻找。

然而初学者在使用二分时经常会出现while死循环的问题，就是l和r一直会处在r=l+1的状态，符合l<r的while条件会一直处于该循环内，造成死循环。

那让我们来看看该情况时如何避免死循环的。

因为此时我们是寻找一个尽可能小的期望答案，当最终检索范围来到l~~l+1时，我们肯定是优先去check l 是不是我们所需要的那个答案，如果 l 符合，执行 r = l；符合我们的需求，那如果我们不去 check l 而是 check l+1 呢，这时最终结果就会直接变成了l + 1然后不会去检索 l 导致错过了我们真正所需要的答案。

所以该情况的mid我们使用整除来避免发生上述情况，因为整除的特殊性，当每次来到 l 和 l+1这种情况，mid运算都会得到 l ，这样就能避免了发生上述情况。

实例：

在 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10寻找第一个大于等于6的数，也就是寻找一个尽可能小的大于等于6的数

第一次循环 l = 1 r = 10 mid = 5，if语句不成立，此时l = mid + 1 =6;

第二次循环 l = 6 r = 10 mid = 8 ，if语句成立，此时r = mid =8

第三次循环 l = 6 r = 8   mid = 7,    if语句成立， 此时r = mid = 7

第四次循环 l =6  r = 7   mid = 6,    if语句成立，  此时r = mid =6,退出循环，此时l = r =6,即找到期望答案6。

情况二：

while (l < r)
    {
        int mid = (l + r + 1)/2;
        if (check(mid))  l = mid;
        else r = mid - 1;
    }

情况一是寻找一个尽可能小的期望答案，那本情况自然是寻找一个尽可能大的期望答案了。同情况一一样，我们所需要处理的就是l 和 l+1的这种最终情况，当寻找尽可能小的值我们要优先check l,那寻找尽可能大的值我们就要优先check l + 1了。那怎么让l 和 l+1的情况每次都让mid变成l + 1呢，我们可以让mid = (l + r +1)/2,这样就能让mid每次都来到l+1。

实例：

在 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10寻找最后一个小于等于5的数，也就是寻找一个尽可能大的小于等于5的数

第一次循环 l = 1 r = 10 mid = 6，if语句不成立，此时r = mid - 1 =5;

第二次循环 l = 1 r = 5 mid = 3 ，if语句成立，此时l = mid =3

第三次循环 l = 3 r = 5   mid = 4,    if语句成立， 此时l = mid = 4

第四次循环 l =4  r = 5   mid = 5,    if语句成立，  此时l = mid =5,退出循环，此时l = r =5,即找到期望答案5。

二分查找实战

这样看起来二分查找实用性不大，其实不然，当需求是求出最大值或最小值的时候往往能用二分查找来实现。

例如这道题：

题目地址点击这里
来源：牛客网

有 n 棵树，初始时每棵树的高度为 Hi，第 i 棵树每月都会长高 Ai。现在有个木料长度总量为 S 的订单，客户要求每块木料的长度不能小于L，而且木料必须是整棵树（即不能为树的一部分）。现在问你最少需要等多少个月才能满足订单。

通过观察，题目要求出现了“最少”这个字眼，进一步思考，假设现在我们10个月能满足客户订单，那么11个月也一定可以满足客户订单，那这是不是就是二分查找所要求的单调性呢？

显然是的，这样我们就可以套用二分查找来实现这道题目了。

因为答案是月数，也就是整数，为了不错过“最少”的这个答案，二分查找所处理的有序数组就是以1开始，公差为1的一组等差数列。而末项设为多少就视题目数据范围而定了，我们只需要设定一个无论题目给出的数据是多少，该数一定能满足订单就够了。

而check函数就是把mid这个月数代入进去，把所有经过mid个月的生长后高度大于等于L的树的高度累加起来，如果总量大于等于S，return true,否则return false。

更多的二分例题都可以在各大知名刷题网站上找到，本文如有表述不清有歧义的可以在评论区讨论，欢迎各位不吝赐教。