6、具有最优最坏情况访问时间的 O(log log n) 竞争二叉搜索树

具有最优最坏情况访问时间的 O(log log n) 竞争二叉搜索树

1. 引言

字典是用于存储和检索信息的基本数据结构，而二叉搜索树（BST）是一种广为人知且广泛使用的字典实现方式，它兼具效率、灵活性和适应性，是计算机科学的基础数据结构之一。

过去几十年里，许多 BST 方案被开发出来，它们能在 O(log n) 时间内完成元素访问等操作，这是基于比较模型下单操作的最优最坏情况访问时间。对于访问序列，某些特定的 BST 算法可能在处理 m 次访问时，用时少于 Θ(m log n)。评估 BST 算法对特定序列适应性的常用方法是竞争分析。对于访问序列 X，定义 OPT(X) 为任何 BST 算法处理该序列所需的最短时间。若给定的 BST 算法 A 能在 O(f(n) OPT(X)) 时间内处理所有序列 X，则称其为 f(n) 竞争的。

1985 年，Sleator 和 Tarjan 开发了伸展树（splay trees），并猜想它是 O(1) 竞争的，但该猜想至今仍未得到证实。实际上，多年来已知的 BST 结构的最佳竞争比是 O(log n)，普通的静态平衡树就能达到这个比例。

Demaine 等人最近取得了进展，他们开发了一种 O(log log n) 竞争的 BST 结构——探戈树（tango trees），这是 BST 竞争比相对于平凡的 O(log n) 上界的首次改进。不过，探戈树在每次访问时可能会产生 Θ(log log n log n) 的最坏情况访问时间，在处理长度为 m 的某些访问序列时，用时为 Θ(m log log n log n)。相比之下，任何平衡 BST（即使是静态的）都具有 O(log n) 的最坏情况访问时间，处理每个访问序列的