二维图形的基本变换与裁剪的变换矩阵

设二维平面上有一点(x,y),经过图形变换后成为另一点(x1,y1),则可用向量乘上一个变换矩阵得:

若用齐次坐标表示,则有:

我们称为二维变换矩阵,可以分为四个矩阵:其中对图形进行比例变换,旋转,对称,错切等变换;对图形进行平移变换,对图形进行投影变换,[i]对整体图形做比例变换.

1 单一变换

1.1 平移变换:

往x方向移动c,往y轴方向移动f,如图所示:

1.2 比例变换:

1.2.1 当a=e=1时,为恒等变换,也就是说图形没有任何变化

1.2.2 当a=e>1时,图形沿着两个坐标轴方向等比例放大

1.2.3 当a=e>1时,图形沿着两个坐标轴方向等比例缩小

1.2.4当a!=e时,图形沿着两个坐标轴方向非均匀比例变换

如图:

1.3 对称变换

当b=d=0,a=-1,e=1时,以y轴对称

当b=d=0,a=1,e=-1时,以x轴对称

当b=d=1,a=-1,e=-1时,以原点对称

当b=d=1,a=0,e=0时,以y=x线

1.4 旋转变换:

图形沿着逆时针旋转θ角

1.5错切变换:

当d=0时,图形沿着x方向错切,

当b=0时,图形沿着y方向错切如图4.1(l)

2 复合变换:

有些复杂的变换通过上面的几种方法是不可能实现的,需要多种变换组合起来实现,举个例子:

如图,我们希望图形按照我们指定的直线对称:

首先,我们先将D点移到原点,因为上述的所有对称变换对称轴都是经过原点,变换矩阵为:

然后呢,我们顺时针旋转直线α角,让它和x轴重合

这样,原先以指定直线为对称轴做对称变换就可以转化为以x轴作为对称轴做对称变换

做对称变换后别忘了做逆变换恢复回原来的位置,先逆时针转动相同的角度:

再将D点平移到原来的地方:

最后计算结果:

这样子就完成了复合变换

总而言之,复合变换就是经过一系列变换,使变换目标转成基本的变换,在逆变换恢复原来的位置