本文深入解析了频率学派与贝叶斯派的理论差异，详细阐述了极大似然估计（MLE）与最大后验概率估计（MAP）的概念及应用，对比了经验风险最小化与结构风险最小化的方法，并探讨了MLE与MAP之间的联系。
1. 频率学派和贝叶斯派
频率学派
认为世界是确定的。他们直接为事件本身建模，也就是说事件在多次重复实验中趋于一个稳定的值p，那么这个值就是该事件的概率
他们认为模型参数是个定值，希望通过类似解方程组的方式从数据中求得该未知数。这就是频率学派使用的参数估计方法-极大似然估计（MLE），这种方法往往在大数据量的情况下可以很好的还原模型的真实情况。
贝叶斯派
他们认为模型参数源自某种潜在分布，希望从数据中推知该分布。对于数据的观测方式不同或者假设不同，那么推知的该参数也会因此而存在差异。这就是贝叶斯派视角下用来估计参数的常用方法-最大后验概率估计（MAP），这种方法在先验假设比较靠谱的情况下效果显著，随着数据量的增加，先验假设对于模型参数的主导作用会逐渐削弱，相反真实的数据样例会大大占据有利地位。极端情况下，比如把先验假设去掉，或者假设先验满足均匀分布的话，那她和极大似然估计就如出一辙了。
2. 极大似然概率和最大后验概率
2.1 极大似然概率（MLE）
可以简单理解为概率、可能性，也就是说要最大化该事件发生的可能性；它的含义是根据已知样本，希望通过调整模型参数来使得模型能够最大化样本情况出现的概率
例子说明
假如一个盒子里面有红黑共10个球，每次有放回的取出，取了10次，结果为7次黑球，3次红球。问拿出黑球的概率
p
p
p 是多少？
我们假设7次黑球，3次红球为事件 A，一个理所当然的想法就是既然事件A已经发生了，那么事件 A发生的概率应该最大。所以既然事件A 的结果已定， 我们就有理由相信这不是一个偶然发生的事件，这个已发生的事件肯定一定程度上反映了黑球在整体中的比例。所以我们要让模型产生这个整体事件的概率最大，我们把这十次抽取看成一个整体事件A ，很明显事件A发生的概率是每个子事件概率之积。我们把 P ( A ) P(A) P(A)看成一个关于 p p p(黑球的概率) 的函数，求 P ( A ) P(A) P(A)取最大值时的 p p p，这就是极大似然估计的思想。具体公式化描述为 P ( A ) = p 7 ∗ ( 1 − p ) 3 P(A)=p^7*(1-p)^3 P(A)=p7∗(1−p)3
接下来就是取对数转换为累加，然后通过求导令式子为0来求极值，求出p的结果。
l
n
(
P
(
A
)
)
=
l
n
(
p
7
)
∗
(
1
−
p
)
3
=
7
l
n
(
p
)
+
3
l
n
(
1
−
p
)
ln(P(A))=ln(p^7)*(1-p)^3=7ln(p)+3ln(1-p)
ln(P(A))=ln(p7)∗(1−p)3=7ln(p)+3ln(1−p)
令：
l
n
′
(
P
(
A
)
)
=
0
ln^{'}(P(A))=0
ln′(P(A))=0
得：
7
p
+
3
p
−
1
=
0
\frac{7}{p}+\frac{3}{p-1}=0
p7+p−13=0
得：
p
=
0.7
p=0.7
p=0.7
2.2 最大后验概率估计（MAP）
就是最大化在给定数据样本的情况下模型参数的后验概率；它依然是根据已知样本，来通过调整模型参数使得模型能够产生该数据样本的概率最大，只不过对于模型参数有了一个先验假设，即模型参数可能满足某种分布，不再一味地依赖数据样例（万一数据量少或者数据不靠谱呢）
例子说明
抛一枚硬币10次，有10次正面朝上，0次反面朝上。问正面朝上的概率
θ
\theta
θ。
利用极大似然估计可以得到 θ \theta θ = 10 / 10 = 1.0。显然当缺乏数据时MLE可能会产生严重的偏差。
如果我们利用极大后验概率估计来看这件事，先验认为大概率下这个硬币是均匀的 (例如最大值取在0.5处的Beta分布)，那么 P ( θ ∣ X ) P(\theta|X) P(θ∣X)是一个分布，最大值会介于0.5~1之间，而不是武断的给出 θ \theta θ= 1。
随着数据量的增加，参数分布会更倾向于向数据靠拢，先验假设的影响会越来越小
3. 经验风险最小化与结构风险最小化
经验风险最小化与结构风险最小化是对于损失函数而言的。可以说经验风险最小化只侧重训练数据集上的损失降到最低；而结构风险最小化是在经验风险最小化的基础上约束模型的复杂度，使其在训练数据集的损失降到最低的同时，模型不至于过于复杂，相当于在损失函数上增加了正则项，防止模型出现过拟合状态。这一点也符合奥卡姆剃刀原则：如无必要，勿增实体。
经验风险最小化可以看作是采用了极大似然的参数评估方法，更侧重从数据中学习模型的潜在参数，而且是只看重数据样本本身。这样在数据样本缺失的情况下，很容易管中窥豹，模型发生过拟合的状态；结构风险最小化采用了最大后验概率估计的思想来推测模型参数，不仅仅是依赖数据，还依靠模型参数的先验假设。这样在数据样本不是很充分的情况下，我们可以通过模型参数的先验假设，辅助以数据样本，做到尽可能的还原真实模型分布。
3.1 经验风险最小化
当模型是条件概率分布，损失函数是对数损失函数时，经验风险最小化就等价于极大似然估计；可以参考逻辑回归
3.2 结构风险最小化
当模型是条件概率分布、损失函数是对数损失函数、模型复杂度由模型的先验概率表示时，结构风险最小化就等价于最大后验概率估计。
4. MLE和MAP的联系
假设数据 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1, x_2, ..., x_n x1,x2,...,xn是满足独立同分布（i.i.d.）的一组抽样 X = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) X=(x_1, x_2, ..., x_n) X=(x1,x2,...,xn)，接下来就利用两种参数估计方法来求解
MLE对参数
θ
\theta
θ的估计方法可以如下
θ
^
M
L
E
=
arg
max
P
(
X
;
θ
)
=
arg
max
P
(
x
1
;
θ
)
P
(
x
2
;
θ
)
⋯
P
(
x
n
;
θ
)
=
arg
max
log
∏
i
=
1
n
P
(
x
i
;
θ
)
=
arg
max
∑
i
=
1
n
log
P
(
x
i
;
θ
)
=
arg
min
−
∑
i
=
1
n
log
P
(
x
i
;
θ
)
\begin{aligned} \hat{\theta}_{\mathrm{MLE}} &=\arg \max P(X ; \theta) \\ &=\arg \max P\left(x_{1} ; \theta\right) P\left(x_{2} ; \theta\right) \cdots P\left(x_{n} ; \theta\right) \\ &=\arg \max \log \prod_{i=1}^{n} P\left(x_{i} ; \theta\right) \\ &=\arg \max \sum_{i=1}^{n} \log P\left(x_{i} ; \theta\right) \\ &=\arg \min -\sum_{i=1}^{n} \log P\left(x_{i} ; \theta\right) \end{aligned}
θ^MLE=argmaxP(X;θ)=argmaxP(x1;θ)P(x2;θ)⋯P(xn;θ)=argmaxlogi=1∏nP(xi;θ)=argmaxi=1∑nlogP(xi;θ)=argmin−i=1∑nlogP(xi;θ)
MAP对
θ
\theta
θ 的估计方法可以如下推导：
θ
^
M
A
P
=
arg
max
P
(
θ
∣
X
)
=
arg
min
−
log
P
(
θ
∣
X
)
=
arg
min
−
log
P
(
X
∣
θ
)
−
log
P
(
θ
)
+
log
P
(
X
)
=
arg
min
−
log
P
(
X
∣
θ
)
−
log
P
(
θ
)
\begin{aligned} \hat{\theta}_{\mathrm{MAP}} &=\arg \max P(\theta | X) \\ &=\arg \min -\log P(\theta | X) \\ &=\arg \min -\log P(X | \theta)-\log P(\theta)+\log P(X) \\ &=\arg \min -\log P(X | \theta)-\log P(\theta) \end{aligned}
θ^MAP=argmaxP(θ∣X)=argmin−logP(θ∣X)=argmin−logP(X∣θ)−logP(θ)+logP(X)=argmin−logP(X∣θ)−logP(θ)
所以MAP和MLE在优化时的不同就是在于增加了一个先验项
−
l
o
g
P
(
θ
)
-logP(\theta)
−logP(θ)
通过以上的分析可以大致给出他们之间的联系:
M
A
P
(
θ
)
≈
M
L
E
(
θ
)
+
P
(
θ
)
MAP(\theta)\approx MLE(\theta)+P(\theta)
MAP(θ)≈MLE(θ)+P(θ)
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