补day27--回溯算法1

基础理论

0、关于回溯算法可以解决哪些问题？

（1）组合问题，给一个数组1234，元素总和为2的组合有多少个？

（2）切割问题，给一个数组，对数组的元素按照特定的规则切割成新的数组

（3）子集问题，给一个数组，求数组的子集

（4）排列问题，和上面的组合问题相似，但是不强调元素的顺序问题

（5）棋盘问题，N皇后或者解数独问题

1、如何理解回溯法

可以将其总结为一棵树，深度和宽度与回溯的循环有关

回溯算法实质是一个穷举法，所以效率不高，适合一些暴力搜索的题；

2、实现逻辑

void back(参数){

if(终止条件){

收集结果；   //因为结果都在叶子节点上，所以遍历到叶子节点上的时候开始收集结果

return ；

}

for （选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小））{

处理节点；

递归函数；

回溯算法；

}

return ;

}

第一题：组合

给定两个整数 n 和 k，返回 1 ... n 中所有可能的 k 个数的组合。

示例: 输入: n = 4, k = 2 输出: [ [2,4], [3,4], [2,3], [1,2], [1,3], [1,4], ]

方法一：直接for循环暴力求解，但是在数据量很大的时候，效率很低；

方法二：回溯法

三部曲：

（1）递归函数的返回值以及参数

vector<vector<int>> result;  //存放符合条件结果的集合

vector<int> path;  //用来存放符合条件的单一结果

void backtracking(int n,int k ,int startIndex)   //集合n中取k个数，而startIndex用于控制下一层的递归，避免重复

（2）确定终止条件

如果path这个数组的大小如果达到k，说明找到了一个子集大小为k的组合,用result二维数组将path保存起来，终止本层递归

if(path.size()==k){

result.push_back(path);

return ;

}

（3）单层搜索逻辑

横向利用startIndex作为遍历起点，fo循环，然后用path保存取到的节点i

for(int i=startIndex; i<=n; i++){

path.push_back(i);  //处理节点

backtracking(n,k,i+1);   //递归：控制树的纵向遍历，注意下一层搜索从i+1开始

path.pop_back();  //回溯，撤销处理的节点

}

整体逻辑还是根回溯算法大纲差不多，处理、递归、回溯

第二题：组合总和3

找出所有相加之和为 n 的 k 个数的组合。组合中只允许含有 1 - 9 的正整数，并且每种组合中不存在重复的数字。

0、思路：观察可得，构建的树最大宽度为9，深度为k，按照上题的逻辑即可求得

1、回溯三部曲

（1）确定递归函数

还是需要全局变量，保存路径和返回结果

vector<vector<int>> result;

vector<int> path;

void backtracking(int targetSum,int k,int sum, int startIndex)

（2）确定终止条件

还是一样，path取够k长度就停止

if(path.size()==k){

if(sum==targetSum)  result.push_back(path);

return ;

}

（3）单层搜索过程：处理，递归，回溯

 for(int i=startIndex;i<=9-(k-path.size())+1;i++){

sum+=i;

path.push_back(i);//处理

backtracking(targetSum,k,sum,i+1);  //递归

sum-=i;

path.pop_back();  //回溯

}

关于为什么sum要加了再减，sum是用来寻找合适的值，所以加了然后递归进去判断，为什么要减，是因为一个叶子节点判断完，需要回去判断另一个叶子；有加就有减

注意点：for循环内，i应该根据path的长度以及k的大小来决定，同时避免重复

第三题：电话号码的字母组合

0、思路：首先，0-9分别对应不同的字母集合，所以横向是每个数字对应的字符集合

然后，深度是集合长度，比如23，k=2

先写出每个数字对应的字符组合：

const string letterMap[10] = {
        "", // 0
        "", // 1
        "abc", // 2
        "def", // 3
        "ghi", // 4
        "jkl", // 5
        "mno", // 6
        "pqrs", // 7
        "tuv", // 8
        "wxyz", // 9
    };

1、回溯三部曲

（1）确定回溯函数参数，同时定义全局变量

vector<string> result;

string s;

void backstracking(const string & digits,int index)

（2）确定终止条件

用index控制层数，如果层数到达数组长度，即停止

if(index==digits.size()){

result.push_back(s);

return;

}

（3）确定单层递归逻辑

处理、递归、回溯

int digit=digits[index]-'0';

string letters=letterMap[digit];

for(int i=0;i<letters.size();i++){

s.push_back(letters[i]);

backtracking(digits,index+1);

s.pop_back();

}

第三题需要二刷！