32、采样率转换技术详解

采样率转换技术详解

1. 低通滤波在降采样中的必要性

在降采样之前，低通滤波器会对信号 $x(n)$ 进行衰减。低通滤波器的截止频率设置为 $0.8\pi/D = 0.1\pi$，这可以消除信号 $x(n)$ 中的不必要成分。如果直接对 $x(n)$ 进行降采样操作而不进行抽取，得到的序列 $y(m) = 1$ 会是一个混叠信号。因此，低通滤波是必要的。

2. 整数因子 $I$ 插值

2.1 上采样器

通过在信号的连续值之间插入 $I - 1$ 个新样本，可以将采样率提高整数因子 $I$，即 $F_y = IF_x$。上采样是插值过程的第一步，它通过在非零样本之间插入零来创建一个高速率的中间信号 $v(m)$。其表达式为：
[
v(m) =
\begin{cases}
x(m/I), & m = 0, \pm I, \pm 2I, \cdots \
0, & \text{otherwise}
\end{cases}
]
上采样器的框图如下：

graph LR
    A[x(n)] -->|Rate Fx| B(↑I)
    B -->|Rate IFx = Fv| C[v(m)]

上采样器是一个时变系统。例如，当 $I = 2$ 且 $x(n) = {1, 2, 3, 4}$ 时，上采样后的信号 $v(m) = {1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0}$。若将 $x(n)$ 延迟一个样本得到 $x(n - 1) =