27、IIR滤波器设计与原型模拟滤波器特性

IIR滤波器设计与原型模拟滤波器特性

1. 耦合形式振荡器

在涉及两个正交正弦载波信号调制的实际应用中，需要生成正弦波 $A \sin \omega_0 n$ 和 $A \cos \omega_0 n$。可以借助三角函数公式得到所谓的耦合形式振荡器来生成这些正交载波信号。

1.1 耦合差分方程

根据三角函数公式：
- $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$
- $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

其中，$\alpha = n\omega_0$，$\beta = \omega_0$，$y_c(n) = \cos(n + 1)\omega_0$，$y_s(n) = \sin(n + 1)\omega_0$。代入后得到两个耦合差分方程：
- $y_c(n) = (\cos \omega_0) y_c(n - 1) - (\sin \omega_0) y_s(n - 1)$
- $y_s(n) = (\sin \omega_0) y_c(n - 1) + (\cos \omega_0) y_s(n - 1)$

1.2 初始条件

该耦合形式振荡器是一个2输出系统，不需要任何输入激励，但需要设置初始条件 $y_c(-1) = A \cos \omega_0$ 和 $y_s(-1) = -A \sin \omega_0$ 才能开始自维持振荡。

2. 原型