17、离散时间滤波器的实现

离散时间滤波器的实现

1 FIR滤波器结构

有限长脉冲响应（FIR）滤波器的系统函数具有如下形式：
[H(z) = b_0 + b_1z^{-1} + \cdots + b_{M - 1}z^{1 - M} = \sum_{n = 0}^{M - 1} b_nz^{-n}]
因此，脉冲响应 (h(n)) 为：
[h(n) =
\begin{cases}
b_n, & 0 \leq n \leq M - 1 \
0, & \text{其他}
\end{cases}
]
其差分方程表示为：
[y(n) = b_0x(n) + b_1x(n - 1) + \cdots + b_{M - 1}x(n - M + 1)]
这是一个有限支撑的线性卷积。滤波器的阶数为 (M - 1)，滤波器的长度（等于系数的数量）为 (M)。FIR滤波器结构总是稳定的，并且与无限长脉冲响应（IIR）结构相比相对简单。此外，FIR滤波器可以设计成具有线性相位响应，这在某些应用中是理想的。

1.1 常见的FIR滤波器结构

以下是四种常见的FIR滤波器结构：
1. 直接形式 ：直接实现上述差分方程。
2. 级联形式 ：将系统函数 (H(z)) 分解为二阶因子，然后以级联方式实现。
3. 线性相位形式 ：当FIR滤波器具有线性相位响应时，其脉冲响应表现出一定的对称条件。利用这些对称关系可以将乘法运算减少约一半。
4. 频