5、离散时间信号与系统中的差分方程及MATLAB实现

离散时间信号与系统中的差分方程及MATLAB实现

1. 序列相关性计算函数

在MATLAB中，信号处理工具箱提供了 xcorr 函数用于序列相关性计算。其基本使用形式如下：
- >> xcorr(x,y) ：计算向量 x 和 y 之间的互相关。
- >> xcorr(x) ：计算向量 x 的自相关。

该函数生成的结果与正确使用 conv_m 函数得到的结果相同，但 xcorr 函数不能提供时序（或滞后）信息，这需要通过其他方式获取。

2. 差分方程

2.1 差分方程的定义

线性时不变（LTI）离散系统可以用以下形式的线性常系数差分方程描述：
[
\sum_{k = 0}^{N} a_{k}y(n - k) = \sum_{m = 0}^{M} b_{m}x(n - m), \quad \forall n
]
如果(a_{N} \neq 0)，则该差分方程的阶数为(N)。此方程描述了一种递归方法，用于根据输入值和先前计算的输出值计算当前输出。在实际应用中，该方程是从(n = -\infty)到(n = \infty)正向计算的，因此其另一种形式为：
[
y(n) = \sum_{m = 0}^{M} b_{m}x(n - m) - \sum_{k = 1}^{N} a_{k}y(n - k)