6、基于无雅可比牛顿 - 克里洛夫方法的风险识别

基于无雅可比牛顿 - 克里洛夫方法的风险识别

在电力系统中，准确识别可能导致级联故障的初始扰动对于保障系统的可靠性和稳定性至关重要。传统的基于雅可比矩阵的方法在处理分支故障导致的级联故障不连续性时存在局限性，而无雅可比牛顿 - 克里洛夫（JFNK）方法为解决这一问题提供了新的途径。

1. KKT 条件证明

优化问题的 KKT 条件由四个部分组成：驻点条件、原始可行性、对偶可行性和互补松弛性。
- 驻点条件 ：$\nabla J(\delta^ , x_m, y_m) + \sum_{i = 1}^{n} \mu_i \nabla v_i(\delta^ ) = 0$，其中$\Omega = \bigcap_{i = 1}^{n} { \delta | v_i(\delta) \leq 0 }$。
- 原始可行性 ：$g_i(\delta) \leq 0$，$i \in I_n$，可转化为等式约束$v_i(\delta^ ) + \omega_i^2 = 0$，$i \in I_n$，未知变量$\omega_i \in R$。
- 对偶可行性 ：$\mu_i \geq 0$，可替换为$\mu_i - \sigma_i^2 = 0$，$i \in I_n$，未知变量$\sigma_i \in R$。
- 互补松弛性 ：$\mu_i \cdot v_i(\delta^ ) = 0$，$i \in I_n$。

为了降低计算负担，梯度$\nabl