35、开放系统的慢不变流形研究

开放系统的慢不变流形研究

1. 封闭系统慢不变流形求解后的方向

在为耗散系统找到慢不变流形后，我们构建它的目的是什么呢？主要是为了解决柯西问题，以分离运动。柯西问题可分为以下两个子问题：
- 从初始条件重建到慢不变流形的“快速”运动（初始层问题）。
- 求解流形上“慢速”运动的柯西问题。

这样一来，解决柯西问题变得更容易，在一些复杂情况下甚至成为可能。需要强调的是，要可靠地解决柯西问题，不仅要解决慢速运动的简化柯西问题，还要解决快速运动的初始层问题。

在解决初始层问题时，使用带平滑或不带平滑的分段线性近似方法非常有效，该方法曾用于玻尔兹曼方程。另外，在动力学问题中，还可以通过模型方程来模拟初始层。例如，Bhatnagar - Gross - Krook（BGK）方程是玻尔兹曼方程的最简单模型，它描述了向局部麦克斯韦分布小邻域的弛豫过程。模型方程有多种类型和层次，其主要思想是用简单的弛豫项代替快速过程，通常形式为 $dx/dt =… - (x - x_{sl}(x))/\tau$，其中 $x_{sl}(x)$ 是近似慢流形上的一点。这种形式在BGK方程或准平衡模型中都有应用，也可以采用梯度形式，如梯度模型。这些简化方法不仅能单独研究快速运动，还能深入研究慢流形附近快速和慢速运动的相互作用细节。

而求解“慢速”运动的柯西问题，是流体动力学、气体动力学（如果初始“大”系统描述的是气体或流体的动力学）等领域的基本问题。这里，不变流形方法为进一步研究提供了方程。但实际应用中，得到的方程不仅用于“封闭”系统。初始方程描述的是一个趋近平衡的耗散系统，慢速运动方程同样描述耗散系统，之后这些方程会加入各种力和流，进而描述具有不同复杂动力学的系统。因此，构建不