15、非微扰修正局部麦克斯韦分布流形的牛顿法

非微扰修正局部麦克斯韦分布流形的牛顿法

1. 牛顿法中的不完全线性化

在研究相关物理问题时，我们会遇到形如 $\frac{df}{dt} = J_u(f)$ 的方程，其中：
$\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + u_{x,s}(f)\frac{\partial f}{\partial x_s}$，$J_u(f) = -(v_s - u_{x,s}(f))\frac{\partial f}{\partial x_s} + Q(f, f)$。
这里的 $u_{x,s}(f)$ 代表流速度的第 $s$ 个分量，其计算公式为 $u_{x,s}(f) = n_x^{-1}(f)\int v_sf(v, x) d^3v$，而 $n_x(f) = \int f(v, x) d^3v$。

当初始流形 $\Omega_0$ 由显式依赖于 $(v - u_x(f))$ 的函数 $f_{\Omega_0}$ 组成时，这种形式的玻尔兹曼方程向量场很方便。

将 $J_u(f)$ 代入依赖于玻尔兹曼方程向量场的所有表达式中，我们可以得到一般局部有限维初始近似 $f_0(a(x), v)$ 的第一次迭代的不变性方程：
$(P_{a(x)}^{0 }(\cdot) - 1)J_{u,lin,a(x)}^0(\delta f_1(a(x), v)) + \Delta(f_0(a(x), v)) = 0$。
其中：
$J_{u,lin,a(x)}^0(g) = \left[n_x^{-1}(f_0(a(x)))\int v_sg d^3v + u_{x,s}(f_0(a(x)))n_x^{-1}(