5、气体动力学中的降维描述方法及相关模型

气体动力学中的降维描述方法及相关模型

1. 降维描述方法概述

在气体动力学研究中，为了简化对复杂系统的描述，发展出了多种降维描述方法，这些方法各有特点和适用场景。

1.1 Hilbert 方法

Hilbert 方法从奇异摄动的 Boltzmann 方程出发，通过逐步构建正规解来进行降维描述。具体步骤如下：
1. 由方程可知 (f^{(0)}_H) 是参数待定的局部 Maxwell 分布。
2. 应用 Fredholm 择一性定理于方程，得到可解性条件：
- 可解性条件 (\int D_tf^{(0)}_H {1, v, v^2} dv = 0)，这是无粘流体动力学的可压缩 Euler 方程。求解 Euler 方程可确定 Maxwell 分布 (f^0_H) 的参数。
- 通解 (f^{(1)}_H = f^{(1)1}_H + f^{(1)2}_H)，其中 (f^{(1)1}_H) 是线性积分方程的特解，(f^{(1)2}_H) 是碰撞的加性不变量的待定线性组合。
- 下一阶方程的可解性条件 (\int D_t(f^{(1)1}_H + f^{(1)2}_H) {1, v, v^2} dv = 0) 确定 (f^{(1)2}_H) 的系数。
3. Hilbert 证明了这种构建正规解的过程可以进行到任意阶 (n)，函数 (f^{(n)}_H) 由 (n + 1) 阶的可解性条件确定。

1.2 Chapman–Enskog 方法

1917 年，David Enskog 和 Sidney Chapman 独立提出了 Chapman–Enskog 方法。该方法的关键思想是寻求流体