12、分布式系统的哈密顿连通性与多级自适应研究

分布式系统的哈密顿连通性与多级自适应研究

一、WK - 递归金字塔的哈密顿性

1. 相关定义与引理
   • 子图定义 ：对于 (0 ≤ k ≤ m - 1) 且 (a_{k - 1}a_{k - 2}…a_1a_0) 是一个 (k) 位 (d) 进制数，(c_{t - 1}c_{t - 2}…c_m·WKP(d,m)) 是一个标识符为 (c_{t - 1}c_{t - 2}…c_m) 的嵌入式 (WKP(d,m))。例如在图 3 中，(0·WKP(3,1)) 是 (WKP(3,2)) 由 ({(1, 0), (2, 00), (2, 01), (2, 02)}) 诱导的子图，每个 (c·WKP(d,L - 1)) 被称为 (L - 1) 级子图。
   • 引理 1 ：对于 (t ≥ 1)，(WK(3,t)) 是哈密顿图。
   • 引理 2 ：对于 (t ≥ 1)，(WK(3,t)) 的任何哈密顿循环必须包含 ({(0(1)^{t - 1})(1(0)^{t - 1}), (1(2)^{t - 1})(2(1)^{t - 1}), (2(0)^{t - 1})(0(2)^{t - 1})})。证明过程为：由引理 1 可知 (WK(3,t)) 至少存在一个哈密顿循环，根据 (WK(d,t)) 的定义，(WK(3,t)) 可按每个节点标签的第一位分为三部分，任意两部分之间恰好存在一条边，所以每个哈密顿循环必须包含上述三条边。
   • 引理 3 ：在