6、离散函数的谱不变运算与弯函数构造

离散函数的谱不变运算与弯函数构造

1. 谱不变运算的定义与重要性

在离散函数的谱表示中，谱不变运算是一类非常重要的操作。谱不变运算指的是那些不会改变谱系数绝对值的操作。当这些操作应用于变量和函数值时，它们对谱系数的影响主要表现为对某些子集的谱系数进行重新排序、改变符号，或者同时进行这两种操作。这种谱系数的重新排序并非随意的，而是受到变换矩阵结构的限制，只能是对某些精确确定的子集进行排列。

谱不变运算在讨论弯函数时尤为重要，因为将谱不变运算应用于弯函数时，能够保持函数的弯性。通过以不同顺序对弯函数应用各种谱不变运算的组合，可以生成各种各样的弯函数。

2. 谱不变运算的分类

谱不变运算主要有以下几种：
1. 函数极化 ：对于函数 (f(x))，通过 (f(x) \to g(x) = f(x) \oplus k) 进行变换。对于二元函数，(k = 1)；对于三元函数，(k \in {1, 2})；对于四元函数，(k \in {1, 2, 3})。
2. 输入变量极化 ：输入变量 (x_i) 变为 (x_i \oplus k)。同样，二元函数中 (k = 1)，三元函数 (k \in {1, 2})，四元函数 (k \in {1, 2, 3})。即 (f(x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_n) \to g(x_1, \ldots, x_i \oplus k, \ldots, x_n))。在二元情况下，(x_i \to x_i \oplus 1 = \overline{x_i})，也就是 (f(x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_