6、最优分区搜索方法及算法解析

最优分区搜索方法及算法解析

1. 数据预处理与标准化

在处理数据集 $A = {a_i = (a_{1i}, \ldots, a_{ni}) : i = 1, \ldots, m} \subset \Omega \subset R^n$ 时，若数据各分量所属范围差异较大，即区间 $[\alpha_j, \beta_j]$ 长度差异明显，就需要对这些区间进行标准化处理。可以通过双射映射 $T : \Omega \to [0, 1]^n$ 来实现，其定义如下：
[T(x) = (x - \alpha)D]
其中，$D = diag(\frac{1}{\beta_1 - \alpha_1}, \ldots, \frac{1}{\beta_n - \alpha_n})$，$\alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$。
此映射将集合 $A$ 转换为集合 $B = {T(a_i) : a_i \in A} \subset [0, 1]^n$。完成集合 $B$ 的聚类后，再通过逆映射 $T^{-1} : [0, 1]^n \to \Omega$ 将结果转换回集合 $\Omega$，逆映射定义为：
[T^{-1}(x) = xD^{-1} + \alpha]

2. 直接求解 GOP (3.40)

目前没有可靠有效的方法来找到 $k - GOPart$。一些已知的全局优化方法在这种情况下并不适用。这里介绍一种名为 Dividing Rectangles (DIRECT) 的无导数确定性采样方法，用于对 Lipschitz 连续函数 $F : \Omega^k \to R$ 进行全局优化。

2.1 函