15、区块链与黎曼zeta函数的创新融合

区块链与黎曼zeta函数的创新融合

1. 黎曼zeta函数 ζ(s) 概述

黎曼zeta函数是复变函数领域的一个重要概念。它在复平面的定义分为两部分：在半平面 Re(s) > 1 时，由绝对收敛级数 ζ(s) = $\sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n^s}$ 定义；通过解析延拓，可将其定义域扩展到整个复平面 C。解析延拓是一种扩展函数定义域的技术，使得扩展后的函数在新定义域内处处解析。

黎曼证明了 ζ(s) 可扩展为一个亚纯函数，仅在 s = 1 处有一个简单极点，留数为 1，并且满足函数方程 $\pi^{-s/2} \Gamma(s/2) \zeta(s) = \pi^{-(1 - s)/2} \Gamma(1 - s/2) \zeta(1 - s)$。这里的 $\Gamma(.)$ 是伽马函数，当 Re(s) > 0 时，可明确定义为 $\Gamma(s) = \int_{0}^{+\infty} x^{s - 1} e^{-x} dx$。

从狄利克雷级数可知，在 Re(1 - s) > 1 时，ζ 有明确的表达式，因此在 Re(s) < 0 区域计算 ζ 是可行的。然而，存在一个特殊区域 0 < Re(s) < 1，无法直接从狄利克雷级数计算 ζ，正是这个神秘区域使得黎曼假设至今仍是一个未被证明的猜想。

黎曼假设指出，ζ(s) 的非平凡零点的实部都等于 1/2。这一猜想是克莱数学研究所提出的千禧年七大难题之一，至今仍未解决，解决该问题可获得 100 万美元的奖金。此外，黎曼猜想和黎曼zeta函数与素数分布等领域密切相关，对理解素数分布具有重要意义。

2. 区块链中的