无线传感器网络容错滤波

无线传感器网络中的分布式容错一致性滤波—第一部分：通信故障

摘要

本文研究了存在通信故障的无线传感器网络（WSNs）中的分布式容错一致性滤波问题。设计了一种新型的分布式容错一致性滤波器，其中每个传感器可与邻近传感器进行通信，并以分布式协调功能执行滤波。由于传感器网络可能受到传输有效性损失的干扰，使用故障信号会导致传感器网络性能下降。在对故障未知的假设下，提出了自适应律来估计故障因素。然后基于自适应方案的信息，设计了一种分布式容错一致性滤波器方案，以保证在存在不确定故障的情况下所有传感器能够渐近跟踪目标。仿真结果验证了所设计的分布式容错一致性滤波器的可行性与有效性。

关键词 ：容错性；分布式一致性滤波器；无线传感器网络；无线传感器网络；自适应控制；协调控制；通信故障。

1 引言

无线传感器网络（WSNs）因其在监视和环境监测（Olfati-Saber 和 Shamma，2005）、机器人技术（朱等人，2013）、无人机定位（梁等人，2012b）、信息采集（沈等人，2011）等领域的广泛应用，吸引了来自不同领域众多研究人员的越来越多的关注。一个无线传感器网络由大量分布在广阔区域内的传感器节点组成（董等人，2014；丁等人，2014）。每个传感器执行一定程度的数据融合、信号处理和通信任务。由于单个传感器的能量、通信能力和计算能力有限，在实际应用中通常需要在特定区域内使用大量的无线传感器节点（余等人，2009b；马哈茂德和 Hassan-Hamid，2014）。

此外，大系统理论已得到深入研究，过去几十年来，大规模系统的分散控制研究受到了广泛关注（童等人，2010，2011，2014），并已提出了大量关于分散控制器设计的有趣成果（段等人，2008）。这是因为许多实际控制系统由多个相互连接的子系统构成，以提高工作有效性和降低计算负担。与集中控制方法相比，分散控制具有成本低、实现快、维度低等诸多优点，且通常不需要所有子系统之间的通信。然而，若不涉及各子系统间的信息交换，分散控制则无法有效运作。近年来，分布式算法在实现一致性方面已被证明非常有效（Olfati-Saber 和 Shamma，2005；Olfati-Saber，2005；曹等人，2013）。在分布式框架下，每个系统（或节点）只能与其邻居节点进行通信，控制目标或设备功能可以通过分布式方式实现。传感器网络就是一个非常典型的例子。值得注意的是，过去几十年中，针对滤波问题（余等人，2009b），经典的卡尔曼滤波（杨等人，2002）、H∞滤波（沈等人，2013）以及有限时间范围滤波（沈等人，2010）已得到广泛研究。然而，大多数现有成果基于能够从所有传感器节点收集信息的集中控制方案。目前对于分布式算法的收敛性分析仍然缺乏，因此本文旨在为无线传感器网络中的新型分布式一致性滤波提供一些基本的理论分析。

通常，每个单个传感器节点都配备有电源有限的微电子设备，因此可能无法在大型传感器网络中传输大量消息。此外，为了节省能量，一种自然的方法是进行数据融合，以减少并节约通信开销。由于传感器网络通常是大规模的，使用集中式信号处理器几乎不可能，因此更倾向于采用分布式算法、估计、控制以及分布式设备，并充分考虑大规模应用（Yu 等，2007；Yu 和 Cao，2007）。因此，已引入了分布式估计与跟踪，这是一种大规模无线传感器网络中的最重要问题之一（Huang 等, 2012）。文献（Dong et al., 2011）研究了具有重复标量非线性和多重概率丢包的传感器网络的分布式 H∞滤波问题，文献（Zhang et al., 2013a）分别研究了一类在拓扑切换下的传感器网络的分布式 H∞滤波问题。针对具有参数不确定性和随机延迟测量的多传感器系统，考虑了鲁棒信息融合卡尔曼滤波问题（陈等人，2013）。针对在具有马尔可夫切换拓扑的传感器网络上的离散时间马尔可夫跳变线性系统，研究了分布式故障检测问题（葛和韩，2014）。

从网络理论视角（张和李，2011）来看，大规模无线传感器网络可被视为一种复杂动态网络，其中每个网络节点代表一个传感器，每条边表示传感器之间的信息交换。研究如何将复杂网络同步（梁等人，2008；何等人，2014a；刘等人，2008；余等人，2009a）和多智能体系统一致性（曹等人，2013）应用于无线传感器网络的分布式一致性滤波设计是十分有意义的。在这种网络框架中，每个传感器可以与其邻近传感器进行通信以交换信息，最终所有传感器的状态都能够实现期望同步，从而实现无线传感器网络的分布式一致性滤波。当整个复杂动态网络无法同步时，可以设计并应用一些控制器来强制网络节点实现同步（何等人，2014b）。

此外，无线传感器网络的传输故障可能导致性能下降甚至不稳定。故障可能由扰动、通信延迟以及传输有效性损失引起。因此，当发生通信故障时，传感器网络无法传输正确信号。已有许多研究成果被提出以应对互联系统中通信信道的问题，例如单一衰减、时间延迟和扰动（洪和严，2007；金和杨，2009）。针对存在状态延迟扰动的分散系统，提出了自适应方法以保证一致最终有界性和渐近跟踪（洪和严，2007）。直接自适应方法被提出用于解决分布式控制系统中存在执行器和互连故障时的渐近容错跟踪控制问题（金和杨，2009）。已有研究提出了在不完美通信条件下的传感器网络分布式一致性算法（卡和穆拉，2009），但仅研究了离散动态情况，尚无关于连续动态情况的研究，而由连续动态系统描述的传感器网络已被广泛研究和引用（余等人，2009b）。然而，据我们所知，针对由网络化延迟、扰动和有效性损失引起的传感器故障在分散式滤波中的补偿问题尚未得到研究。因此，本文旨在对存在通信故障的（连续情况）传感器网络中一类新的容错滤波器提供基本的理论分析。

在本论文中，基于复杂网络同步理论（何等人，2015；赵等人，2015；何和李，2015）以及多智能体系统一致性理论（何等人，2016），将进一步研究分布式一致性滤波器算法。同时采用自适应方法来处理存在通信故障的传感器网络误差动态网络的渐近稳定性问题。从一致性方案出发，利用传感器测量目标信息，从而实现期望的一致性滤波器。将关于复杂网络同步的一些理论结果和设计方法推广到无线传感器网络的数据融合与滤波中。设计了一类分布式容错一致性滤波算法。

本文的其余部分组织如下。问题描述在第2节中给出。第3节讨论了存在通信故障的分布式容错一致性滤波器设计问题。第4节给出了仿真示例。最后，第5节对论文进行了总结。此外，除非另有说明，所有矩阵均假定具有兼容的维度。

2 问题描述

本文考虑在存在通信故障的无线传感器网络中进行分布式容错一致性滤波。

设目标由以下模型描述：
$$
\dot{s}(t) = As(t) + f(s(t)), \tag{1}
$$
其中，$ s(t) \in \mathbb{R}^n $ 是目标(1)的状态，$ A $ 是适当维数的实常数矩阵，$ f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n $ 是光滑非线性向量场且连续可微。

考虑一个规模为 $ N $ 的传感器网络，并假设如果传感器 $ i $ 能够测量信号 $ s(t) $，那么
$$
y_i(t) = C_i s(t), \quad i \in I, \tag{2}
$$
其中 $ y_i(t) \in \mathbb{R}^n $ 是传感器 $ i $ 对目标 $ s(t) $ 的测量，式(2)为感知监测动态（余等人，2009b；葛和韩，2014），$ C_i $ 为测量矩阵，该矩阵被广泛用于检测传感器网络中的链路（葛和韩，2014；胡等人，2014；丁等人，2014），可将其视为增益矩阵。$ I = {1, 2, …, N} $。

然而，由于存在大量传感器可以从观测值 $ y_i(t) $ ($ i \in I $) 中测量目标 $ s(t) $，若缺乏能够收集所有传感器测量数据的集中式处理器，如何进行数据融合仍然是一个具有挑战性的问题。因此，本文的目标是设计并给出一种分布式滤波器，以跟踪目标(1)的状态 $ s(t) $。

已开发出一种分布式一致性滤波器用于测量目标信息（余等人，2009b）。假设每个传感器只能与邻近传感器进行通信。将测量 $ y_i $ 作为控制通信输入信息，该滤波器由 Yue 等人（2009b）提出，具体形式如下：
$$
\dot{x} i(t) = A x_i(t) + f(x_i(t)) + \varepsilon \sum {j=1,j \neq i}^{N} c_{ij} \Gamma (x_j(t) - x_i(t)) + u_i(t), \tag{3}
$$
其中 $ x_i(t) \in \mathbb{R}^n $ 是传感器节点 $ i $ 中对目标 $ s(t) $ 的估计，$ \varepsilon $ 为一致性增益强度，$ \Gamma $ 为内连接矩阵（见 Yue 等(2009b)中的 $ \Gamma = I $）。如果传感器 $ i $ 处于传感器 $ j $ 的感知范围内，则传感器 $ i $ 与传感器 $ j $ 之间存在连接，此时 $ c_{ij} > 0 (i \neq j) $，否则 $ c_{ij} = 0 $，设 $ C = [c_{ij}] {N \times N} $ 是耗散的，即
$$
c {ii} = -\sum_{j=1,j \neq i}^{N} c_{ij}, \quad i \in I \tag{4}
$$
并且 $ N(i) = {j | c_{ij} > 0} $ 表示传感器 $ i $ 的邻居集合，$ u_i(t) $ 是为传感器 $ i $ 设计的一致性控制器，将在后续设计，其依赖于测量值 $ y_i $ 以及目标的状态 $ s(t) $。根据公式(4)，滤波器(3)可重写为
$$
\dot{x} i(t) = A x_i(t) + f(x_i(t)) + \varepsilon \sum {j=1}^{N} c_{ij} \Gamma x_j(t) + u_i(t), \quad i \in I. \tag{5}
$$
从方程(5)可以看出，传感器 $ i $ 只能从其在 $ N(i) $ 中的邻居接收估计信号。

备注1 ：本文中允许 $ C $ 为表示网络拓扑的非对称矩阵，该网络拓扑可以是有向且加权的。在许多现有文献中，$ C $ 被限制为不可约且对称（余等人，2009b），这在现实世界网络中并不实际。然而，在本文中，无需对不可约性或对称性作任何假设，配置矩阵 $ C $ 不必是对称或不可约的。这意味着网络（5）既可以是无向网络，也可以是有向网络。因此，此处的网络结构非常通用，可广泛应用于众多无线传感器网络。

我们现在介绍一些在本论文中需要的假设。

假设1 ：对于所有 $ x, y \in \mathbb{R}^n $，存在一个常数 $ \theta $，使得：
$$
(x - y)^T (f(x) - f(y)) \leq \theta (x - y)^T (x - y). \tag{6}
$$

注释2 ：假设1是关于无线传感器网络中非线性函数 $ f(\cdot) $ 的利普希茨连续性（胡等人，2014）。需要注意的是，在无线传感器网络中会遇到满足利普希茨条件的非线性性（余等人，2009b；胡等人，2014；Liang 等, 2012a；Huang 等, 2012；梁等人，2012b）。直观上，利普希茨连续性能保证这些非线性函数的变化速度是有限的，也就是说，对于函数图像上的任意两点，其切线段斜率的绝对值不超过某个确定的实数。换句话说，这些非线性函数不能过于陡峭。在对网络参数作出这种利普希茨连续性假设的前提下，我们能够推导出分布式估计问题中误差动态的平衡点的渐近稳定性，从而保证状态估计算法的收敛性。

假设2 ：假设 $ \text{rank}(C_i) = m_i $，其中 $ m_i $ 是一个常数。

注释3 ：假设2意味着 $ C_i $ 的伪逆存在，记为 $ C_i^+ $，其定义为 $ (C_i^T C_i)^{-1} C_i^T $。

接下来，我们给出传感器网络中分布式一致性滤波的定义如下：

定义1 ：若所设计的控制器 $ u_i (i \in I) $ 满足以下条件，则称为分布式一致性控制器，
$$
\lim_{t \to +\infty} |x_i(t) - s(t)| = 0, \quad i \in I. \tag{7}
$$

定义2 ：若方程(3)或(5)中的控制器是分布式一致性控制器，则称所设计的滤波器(3)或(5)为分布式一致性滤波器。

注释4 ：回顾现有研究成果（余等人，2009b），它们未考虑通信故障。由于周围环境复杂多变，这是不现实的。本文将研究存在通信故障的无线传感器网络中的分布式容错一致性滤波问题。将设计一种新型的分布式容错一致性滤波器，其中每个传感器可与邻近传感器进行通信，并以分布式协调功能执行滤波。

在工程应用中，由于传感器网络总是受到扰动、时滞和有效性损失的影响。让我们定义一个故障集如下：
$$
\Delta_i = {\sigma_i | \sigma_i = \text{diag}{\sigma_{i1}, \sigma_{i2}, …, \sigma_{in}}, \sigma_{ij} \in [\underline{\sigma} {ij}, \overline{\sigma} {ij}], i, j \in I}, \tag{8}
$$
其中 $ \sigma_i $ 可被视为通信故障或网络效率因子。传感器 $ i $ 的测量状态受以下故障模型影响：
$$
\dot{x} i(t) = A x_i(t) + f(x_i(t)) + \varepsilon \sum {j=1}^{N} c_{ij} \Gamma \sigma_i x_j(t - \tau(t)) + u_i(t), \quad i \in I, \tag{9}
$$
其中 $ \tau(t) $ 为时变网络通信延迟。

假设3 ：假设 $ \underline{\sigma}_i $ 和 $ \overline{\sigma}_i $ 分别表示 $ \sigma_i $ 的下界和上界。

注释5 ：在工程应用中，当 $ \sigma_i = \underline{\sigma}_i = I $ 时，第 $ i $ 个传感器无有效性损失。当 $ \sigma_i = \overline{\sigma}_i = 0 $ 时，传感器 $ i $ 完全不可用。当 $ 0 < \underline{\sigma}_i \leq \overline{\sigma}_i < I $ 时，表示故障类型为有效性损失。

在整篇论文中，需要以下引理来证明我们的主要结果。

引理1 （矩阵柯西不等式（Botmart 等，2013））：对于任意对称正定矩阵 $ M \in \mathbb{R}^{n \times n} $ 和向量 $ x, y \in \mathbb{R}^n $，成立
$$
\pm 2x^T y \leq x^T M x + y^T M^{-1} y.
$$

定义误差动态
$$
e_i(t) = x_i(t) - s(t). \tag{10}
$$

将方程(1)和(9)代入方程(10)，得到
$$
\dot{e} i(t) = A e_i(t) + f(x_i(t)) - f(s(t)) + \varepsilon \sum {j=1}^{N} c_{ij} \Gamma \sigma_i e_j(t - \tau(t)) + u_i(t). \tag{11}
$$

现在，我们给出无线传感器网络中存在通信故障情况下的分布式容错一致性滤波的定义如下：

定义3 ：如果带有分布式容错一致性控制器 $ u_i(t) $ 的误差动态(11)是渐近稳定的，则称设计的滤波器(9)为分布式容错一致性滤波。

因此，本文的主要目标是设计分布式容错控制器 $ u_i(t) $，使得即使在传感器网络中发生通信故障的情况下，传感器 $ i (i \in I) $ 的状态 $ x_i(t) $ 仍能被渐近跟踪到目标的状态 $ s(t) $，即误差动态是渐近稳定的。

3 主要结果

在本节中，我们提出了一种在存在通信故障的无线传感器网络中具有容错性的一致性滤波算法。

为简便起见，考虑针对误差动态（11）的线性容错控制器如下：
$$
u_i(t) = K_{1i} C_i x_i(t) - K_{1i} y_i(t) + \sum_{j=1}^{N} K_{2ij} \hat{\sigma} i e_j(t - \tau(t)), \tag{12}
$$
其中，$ \hat{\sigma}_i $ 是 $ \sigma_i $ 的估计值，$ K {1i} $ 和 $ K_{2ij} $ 是控制器增益矩阵。特别地，$ \hat{\sigma} i(t) $ 是未知量 $ \sigma_i $ 的估计值，其根据以下自适应律进行更新：
$$
\frac{d\hat{\sigma} {ik}(t)}{dt} = \gamma_{ik} \sum_{j=1}^{N} e_i^T(t) D_{ij,k} e_{jk}(t - \tau(t)), \quad i \in I, k \in J. \tag{13}
$$
其中 $ \gamma_{ik} $ 为常数，$ e_{jk} $ 是状态 $ e_j $ 的第 $ k $ 个元素，$ D_{ij,k} $ 是矩阵 $ D_{ij} $ 的第 $ k $ 列，该列将在后续确定，$ J = {1, 2, …, n} $。

令
$$
\tilde{\sigma} i(t) = \hat{\sigma}_i(t) - \sigma_i \quad \text{or} \quad \tilde{\sigma} {ik}(t) = \hat{\sigma} {ik}(t) - \sigma {ik}, \quad i \in I, k \in J. \tag{14}
$$
由于 $ \sigma_i $ 是未知常数矩阵，参数误差可以表示为以下方程：
$$
\dot{\tilde{\sigma}} {ik}(t) = \dot{\hat{\sigma}} {ik}(t). \tag{15}
$$

因此，根据方程(11)和(12)，闭环误差动态网络可表示如下：
$$
\dot{e} i(t) = A e_i(t) + f(x_i(t)) - f(s(t)) + \varepsilon \sum {j=1}^{N} c_{ij} \Gamma \sigma_i e_j(t - \tau(t)) + K_{1i} C_i e_i(t) + \sum_{j=1}^{N} K_{2ij} \hat{\sigma}_i e_j(t - \tau(t)). \tag{16}
$$

接下来，我们主要考虑闭环动力学网络(16)的解。因此，可以获得主定理，该定理表明由方程(16)描述的闭环误差动态网络的解具有全局有界性，如下所示：

定理1 ：假设假设1–3成立。考虑如下线性矩阵不等式：
$$
A Q_i + Q_i A^T + L_i + L_i^T + 2\theta Q_i < 0. \tag{17}
$$
其中 $ L_i $ 是适当维数的矩阵，$ Q_i = Q_i^T = P_i^{-1} > 0 $。对于闭环误差动态网络(16)以及具有分布式容错控制器(12)的系统
$$
K_{1i} = L_i Q_i^{-1} C_i^+, \quad K_{2ij} = -\varepsilon c_{ij} \Gamma. \tag{18}
$$
以及自适应律(13)与
$$
D_{ij} = \varepsilon c_{ij} Q_i^{-1} \Gamma = \varepsilon c_{ij} P_i \Gamma. \tag{19}
$$
然后，我们可以保证闭环误差动态网络是渐近稳定的，并且传感器 $ i $ 的状态 $ x_i(t) $ 在任何故障 $ \sigma_i(t) \in \Delta_i $ 下，随着时间 $ t $ 趋于无穷，渐近收敛到目标(1)的状态 $ s(t) $，即具有控制器(12)和自适应律(13)的设计的滤波器(9)是一个分布式容错一致性滤波器。

证明 ：对于闭环误差动态网络(16)，我们首先定义一个李雅普诺夫函数候选如下：
$$
V(t) = \sum_{i=1}^{N} e_i^T(t) P_i e_i(t) + \sum_{i=1}^{N} \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{\gamma_{ik}} \tilde{\sigma} {ik}^2(t). \tag{20}
$$
沿方程(16)的轨迹对李雅普诺夫函数(20)求导，得到
$$
\frac{dV(t)}{dt} \bigg| {(16)} = 2 \sum_{i=1}^{N} e_i^T(t) P_i \dot{e} i(t) + 2 \sum {j=1}^{N} \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{\gamma_{ik}} \tilde{\sigma} {ik}(t) \dot{\tilde{\sigma}} {ik}(t)
$$
$$
= 2 \sum_{i=1}^{N} e_i^T(t) P_i \left[ A e_i(t) + f(x_i(t)) - f(s(t)) + \varepsilon \sum_{j=1}^{N} c_{ij} \Gamma \sigma_i e_j(t - \tau(t)) + K_{1i} C_i e_i(t) + \sum_{j=1}^{N} K_{2ij} \hat{\sigma} i e_j(t - \tau(t)) \right]
$$
$$
+ 2 \sum {j=1}^{N} \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{\gamma_{ik}} \tilde{\sigma} {ik}(t) \dot{\tilde{\sigma}} {ik}(t). \tag{21}
$$
将方程(13)–(15)代入方程(21)，得到
$$
\frac{dV(t)}{dt} \bigg| {(16)} = \sum {i=1}^{N} e_i^T(t) \left[ (A + K_{1i} C_i)^T P_i + P_i (A + K_{1i} C_i) \right] e_i(t)
$$
$$
+ 2 \sum_{i=1}^{N} e_i^T(t) P_i [f(x_i(t)) - f(s(t))]
$$
$$
+ 2\varepsilon \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} e_i^T(t) P_i c_{ij} \Gamma \sigma_i e_j(t - \tau(t))
$$
$$
+ 2 \sum_{i=1}^{N} e_i^T(t) P_i \sum_{j=1}^{N} K_{2ij} \hat{\sigma} i e_j(t - \tau(t))
$$
$$
+ 2 \sum {i=1}^{N} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\gamma_{ik}} \tilde{\sigma} {ik}(t) \gamma {ik} \sum_{j=1}^{N} e_i^T(t) D_{ij,k} e_{jk}(t - \tau(t))
$$
$$
= \sum_{i=1}^{N} e_i^T(t) \left[ (A + K_{1i} C_i)^T P_i + P_i (A + K_{1i} C_i) \right] e_i(t)
$$
$$
+ 2 \sum_{i=1}^{N} e_i^T(t) P_i [f(x_i(t)) - f(s(t))]
$$
$$
+ 2 \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} e_i^T(t) P_i (\varepsilon c_{ij} \Gamma) \begin{bmatrix} \sigma_{i1} e_{j1}(t - \tau(t)) \ \sigma_{i2} e_{j2}(t - \tau(t)) \ \vdots \ \sigma_{in} e_{jn}(t - \tau(t)) \end{bmatrix}
$$
$$
+ 2 \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} e_i^T(t) P_i K_{2ij} \begin{bmatrix} \hat{\sigma} {i1} e {j1}(t - \tau(t)) \ \hat{\sigma} {i2} e {j2}(t - \tau(t)) \ \vdots \ \hat{\sigma} {in} e {jn}(t - \tau(t)) \end{bmatrix}
$$
$$
+ 2 \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} e_i^T(t) D_{ij} \begin{bmatrix} \tilde{\sigma} {i1} e {j1}(t - \tau(t)) \ \tilde{\sigma} {i2} e {j2}(t - \tau(t)) \ \vdots \ \tilde{\sigma} {in} e {jn}(t - \tau(t)) \end{bmatrix}. \tag{22}
$$
将 $ K_{2ij} = -\varepsilon c_{ij} \Gamma $ 和 $ D_{ij} = \varepsilon c_{ij} P_i \Gamma $ 代入方程(22)，得到
$$
\frac{dV(t)}{dt} \bigg| {(16)} = \sum {i=1}^{N} e_i^T(t) \left[ (A + K_{1i} C_i)^T P_i + P_i (A + K_{1i} C_i) \right] e_i(t)
$$
$$
+ 2 \sum_{i=1}^{N} e_i^T(t) P_i [f(x_i(t)) - f(s(t))]. \tag{23}
$$
将假设1代入方程(23)，得到
$$
\frac{dV(t)}{dt} \bigg| {(16)} = \sum {i=1}^{N} e_i^T(t) \left[ (A + K_{1i} C_i)^T P_i + P_i (A + K_{1i} C_i) + 2\theta P_i \right] e_i(t)
$$
$$
= \sum_{i=1}^{N} e_i^T(t) \Omega_i e_i(t), \tag{24}
$$
其中 $ \Omega_i = (A + K_{1i} C_i)^T P_i + P_i (A + K_{1i} C_i) + 2\theta P_i $。

进一步得到
$$
P_i^{-1} \Omega_i P_i^{-1} = P_i^{-1} (A + K_{1i} C_i)^T + (A + K_{1i} C_i) P_i^{-1} + 2\theta P_i^{-1}
$$
$$
= P_i^{-1} A^T + P_i^{-1} C_i^T K_{1i}^T + A P_i^{-1} + K_{1i} C_i P_i^{-1} + 2\theta P_i^{-1}. \tag{25}
$$
令 $ Q_i = P_i^{-1} $，$ L_i = K_{1i} C_i Q_i $，并将其代入方程(25)，得到
$$
P_i^{-1} \Omega_i P_i^{-1} = A Q_i + Q_i A^T + L_i + L_i^T + 2\theta Q_i.
$$
由方程(17)可知，$ P_i^{-1} \Omega_i P_i^{-1} < 0 $，即
$$
\frac{dV(t)}{dt} \bigg| {(16)} = \sum {i=1}^{N} e_i^T(t) P_i (P_i^{-1} \Omega_i P_i^{-1}) e_i^T(t) < 0. \tag{26}
$$
此外，$ P_i $ 是非奇异的，因此容易知道对于任意 $ e_i(t) \neq 0 $，$ \frac{dV(t)}{dt} \big|_{(16)} < 0 $。闭环误差动态网络(16)的解是一致有界且渐近稳定的。这意味着传感器 $ i $ 的状态 $ x_i(t) $ 渐近收敛到目标的状态 $ s(t) $。

证明完成。

接下来，给出了在存在通信故障的无线传感器网络中分布式容错一致性滤波算法的详细信息，如算法1所示。

算法1 。定理1的步骤可列出如下：
1. 由(17)式容易计算出 $ L_i $ 和 $ Q_i $（通常，为了避免过大的增益矩阵，我们会进行适当的限制）。
2. 由(18)和(19)式容易计算出控制器增益矩阵 $ K_{1i} $、$ K_{2ij} $、$ D_{ij} $。
3. 计算分布式容错控制器(12)和自适应更新律(13)。
4. 给定分布式容错滤波器(9)、(12)和(13)。

注释6 ：尽管现有研究通常旨在解决无线传感器网络的滤波问题（余等人，2009b；胡等人，2014；徐等人，2012），但尚未考虑分布式容错一致性滤波。本文提出的方法能够处理由于传感器扰动、时滞和传输有效性损失所导致通信故障的无线传感器网络中的分布式容错一致性滤波问题。

若无故障，假设每个传感器只能与邻近传感器进行通信。以误差 $ e_i $ 作为输入，设计了如下滤波器：
$$
\dot{x} i(t) = A x_i(t) + f(x_i(t)) + \varepsilon \sum {j=1}^{N} c_{ij} \Gamma x_j(t - \tau(t)) + u_i(t), \quad i \in I. \tag{27}
$$
其中 $ C = [c_{ij}]_{N \times N} $ 仍然是耗散的。

考虑如下自适应控制器：
$$
u_i(t) = -k_i(t) e_i(t), \quad \dot{k}_i(t) = \gamma_i e_i^T(t) e_i(t). \tag{28}
$$
其中 $ \gamma_i > 0 $ 是自适应增益。

将方程(1)、(27)和(28)代入(10)，得到
$$
\dot{e} i(t) = A e_i(t) + f(x_i(t)) - f(s(t)) + \varepsilon \sum {j=1}^{N} c_{ij} \Gamma e_j(t - \tau(t)) - k_i(t) e_i(t) \tag{29}
$$

假设4 ：通信延迟 $ \tau(t) $ 是一个连续可微函数，满足
$$
0 < \dot{\tau}(t) \leq \mu < 1, \quad 0 \leq \tau(t) \leq \bar{\tau},
$$
其中 $ \mu $ 和 $ \bar{\tau} $ 是正常数。

推论1 ：假设假设1和4成立。具有控制器和自适应更新律(28)的设计的滤波器(27)能够实现传感器网络中的分布式一致性滤波。

证明 ：考虑如下的 Lyapunov-Krasovskii 泛函
$$
V_1(t) = \sum_{i=1}^{N} \left[ e_i^T(t) e_i(t) + \frac{1}{\gamma_i} (k_i(t) - \rho_i)^2 + \frac{\varepsilon N}{1-\mu} \int_{t-\tau(t)}^{t} e_i^T(\theta) e_i(\theta) d\theta \right]. \tag{30}
$$
其中 $ \rho_i > 0 $ 是一个稍后设计的正常数。

计算 Lyapunov-Krasovskii 泛函(30)沿轨迹(29)的时间导数，得到
$$
\frac{dV_1(t)}{dt} \bigg| {(29)} = \sum {i=1}^{N} \left[ 2 e_i^T(t) \dot{e} i(t) + \frac{2}{\gamma_i} (k_i(t) - \rho_i) \dot{k}_i(t) + \frac{\varepsilon N}{1-\mu} e_i^T(t) e_i(t) - \frac{\varepsilon N (1 - \dot{\tau}(t))}{1-\mu} e_i^T(t - \tau(t)) e_i(t - \tau(t)) \right]
$$
$$
= \sum {i=1}^{N} \left[ e_i^T(t) (A^T + A) e_i(t) + 2 e_i^T(t) [f(x_i(t)) - f(s(t))] + 2\varepsilon \sum_{j=1}^{N} c_{ij} e_i^T(t) \Gamma e_j(t - \tau(t)) - 2k_i e_i^T(t) e_i(t) + 2(k_i(t) - \rho_i) e_i^T(t) e_i(t) + \frac{\varepsilon N}{1-\mu} e_i^T(t) e_i(t) - \frac{\varepsilon N (1 - \dot{\tau}(t))}{1-\mu} e_i^T(t - \tau(t)) e_i(t - \tau(t)) \right]. \tag{31}
$$
根据假设1
$$
e_i^T(t) [f(x_i(t)) - f(s(t))] \leq \theta e_i^T(t) e_i(t). \tag{32}
$$
根据假设2，可得
$$
1 - \frac{1 - \dot{\tau}(t)}{1 - \mu} < 0. \tag{33}
$$
应用引理1，得到
$$
2 \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} c_{ij} e_i^T(t) \Gamma e_j(t - \tau(t)) \leq \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} c_{ij}^2 e_i^T(t) \Gamma \Gamma^T e_i(t) + \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} e_j^T(t - \tau(t)) e_j(t - \tau(t)) = \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} c_{ij}^2 e_i^T(t) \Gamma \Gamma^T e_i(t) + N \sum_{i=1}^{N} e_i^T(t - \tau(t)) e_i(t - \tau(t)). \tag{34}
$$
然后，由方程(31)到(34)可得
$$
\frac{dV_1(t)}{dt} \bigg| {(29)} \leq \sum {i=1}^{N} \left[ e_i^T(t) (A^T + A) e_i(t) + 2\theta e_i^T(t) e_i(t) + \varepsilon \left( \sum_{j=1}^{N} c_{ij}^2 \right) e_i^T(t) \Gamma \Gamma^T e_i(t) - 2\rho_i e_i^T(t) e_i(t) + \frac{\varepsilon N}{1 - \mu} e_i^T(t) e_i(t) \right] \leq \sum_{i=1}^{N} e_i^T(t) \left[ \lambda_{\max}(A^T + A) + 2\theta + \varepsilon \left( \sum_{j=1}^{N} c_{ij}^2 \right) \lambda_{\max}(\Gamma \Gamma^T) + \frac{\varepsilon N}{1 - \mu} - 2\rho_i \right] e_i(t) = \sum_{i=1}^{N} \lambda_i e_i^T(t) e_i(t),
$$
其中
$$
\lambda_i = \lambda_{\max}(A^T + A) + 2\theta + \varepsilon \left( \sum_{j=1}^{N} c_{ij}^2 \right) \lambda_{\max}(\Gamma \Gamma^T) + \frac{\varepsilon N}{1 - \mu} - 2\rho_i.
$$
我们可以选择一个足够大的 $ \rho_i $ 使得 $ \lambda_i < 0 $，据此
$$
\frac{dV_1(t)}{dt} \bigg|_{(29)} < 0.
$$
选择控制器和自适应更新律(28)，因此闭环误差动态网络(29)的解是一致有界的且渐近稳定。这意味着传感器 $ i $ 的状态 $ x_i(t) $ 渐近收敛到目标的状态 $ s(t) $。

证明完成。

注释7 ：显然，如果没有通信故障，传感器网络中的滤波问题就退化为复杂网络的同步问题。更多结果可参考其他文献（何等人，2012；张等人，2013b；何等人，2014b,c；郑等人，2013）。

如果 $ N = 1 $，即仅使用一个传感器来跟踪目标，则有以下推论，不失一般性，令第一个节点为该传感器。

推论2 : 假设假设1成立。设计的控制器
$$
u(t) = K e(t), \tag{35}
$$
其中 $ K = L Q^{-1} $, $ L $, $ Q $ 满足
$$
A Q + Q A^T + B L + L^T B^T + 2\theta Q < 0. \tag{36}
$$
则传感器
$$
\dot{x}(t) = A x(t) + f(x(t)) + B u(t) \tag{37}
$$
可以在无故障的情况下跟踪目标。

Proof ：定义误差动态为
$$
e(t) = x(t) - s(t). \tag{38}
$$
结合方程(1)、(35)、(37)和(38)，可得
$$
\dot{e}(t) = A e(t) + f(x(t)) - f(s(t)) + B K e(t). \tag{39}
$$
考虑如下李雅普诺夫函数：
$$
V_2(t) = e^T(t) P e(t), \tag{40}
$$
其中 $ P = P^T > 0 $。

沿方程(39)的轨迹对 Lyapunov 函数(40)求导，得到
$$
\frac{dV_2(t)}{dt} = 2 e^T(t) P [A e(t) + f(x(t)) - f(s(t)) + B K e(t)] = e^T(t) [A^T P + P A + P B K + K^T B^T P] e(t) + 2 e(t) P [f(x(t)) - f(s(t))]. \tag{41}
$$
将假设1代入方程(41)，得到
$$
\frac{dV_2(t)}{dt} \leq e^T(t) [A^T P + P A + P B K + K^T B^T P + 2 P \theta] e(t) = e^T(t) \Omega e(t). \tag{42}
$$
Then
$$
P^{-1} \Omega P^{-1} = P^{-1} A^T + A P^{-1} + B K P^{-1} + P^{-1} K^T B^T + 2 \theta P^{-1}. \tag{43}
$$
令 $ P^{-1} = Q $, $ K P^{-1} = L $，因此方程(43)转化为方程(36)，然后 $ \frac{dV_2(t)}{dt} < 0 $。

根据定理1的其余部分，证明完成。

备注8 : 显然，当 $ N = 1 $ 时，传感器网络中的滤波退化为非线性系统的观测器设计问题。更多结果可参考其他文献（Farza 等人，2004；刘等人，2013）。

备注9 ：一种想法是，如果仅用一个传感器就能实现如推论2所示的更优性能，那么为什么定理1和推论1中要使用如此多（N个）传感器。事实上，在工程实践中，单个传感器通常无法精确跟踪目标，也就是说，在网络中使用大量传感器来观测目标通常比使用单个传感器节点能获得更准确的估计。这可以解释如下：
- 首先，在一个广阔区域内由大量传感器节点组成的无线传感器网络，不可能仅依靠一个集中式处理器来收集所有传感器的测量信息，尤其是在偏远地区。通常情况下，每个传感器可能只能使用本地信息并与邻居进行通信，从而以分布式方式实现估计。
- 其次，在工程实践中，传感器往往无法精确跟踪目标。一个自然而然的问题是，观察一个目标时合适的传感器数量应该是多少？在这里我们无法给出一个具体的答案，而且该答案也并无太大意义。因为在复杂工业环境中，我们需要在跟踪精度的实际需求与经济承载能力之间做出权衡。
- 第三，上述情况中，每个传感器都能观测到目标的每一个状态，但在实际应用中并不总是如此。在这种情况下，仅使用一个传感器无法准确估计和跟踪目标。
- 最后，注意到一些传感器无法观测到目标。整个过程可以被视为一种领导者-跟随者行为，其中目标是真实领导者，测量传感器是虚拟领导者，其他传感器是跟随者，这一主题将在未来进行研究。

注释10 : 在本文提出的分布式滤波算法中，滤波器的每个传感器可能仅能与邻居进行通信。这对于资源受限传感器上的实现可能是实用的。其通信复杂度由通信耦合配置矩阵 $ C $ 决定。后面的数值例子将展示所提出结果的可行性与有效性。

Remark11 : 本论文重点研究存在通信故障的无线传感器网络中的分布式容错一致性滤波问题。在没有通信故障的情况下，如果使用集中式处理器（徐等人，2012），我们可能获得最优的滤波解决方案。然而，尚未有人利用集中式处理器研究存在通信故障时的最优滤波解决方案。该课题将在未来予以考虑。本文将所提出算法的性能与经典集中式算法进行了比较。

如果我们不需要估计通信故障，则有以下简单结论。

定理2 ：假设1、3、4成立。具有通信故障(8)和自适应控制器(28)的设计的滤波器(9)是一个分布式容错一致性滤波器。

Proof ：结论是显然的，因此省略证明过程。

注释12 ：本文的主要目的是研究存在通信故障的无线传感器网络中的分布式容错一致性滤波问题。需要指出的是，此处发展的理论可以推广到具有随机扰动的一般化无线传感器网络。（余等人，2009b）。我们之所以集中研究传感器网络（1）而不是其他网络，是为了避免符号变得过于复杂。一旦理解了此处发展的理论，读者便能够轻松应对其他更复杂的情况。

4 数值仿真

在本节中，提供了数值仿真以验证所设计的分布式容错一致性滤波器方案的有效性和可行性。

目标模型由改进的蔡氏电路（Hartley，1989）描述如
$$
\begin{cases}
\dot{s}_1 = p(s_2 - 2s_1^3/7 - s_1), \
\dot{s}_2 = s_1 - s_2 + s_3, \
\dot{s}_3 = -q s_2.
\end{cases} \tag{44}
$$
其中参数 $ p > 0 $ 和 $ q > 0 $，$ s = [s_1, s_2, s_3]^T $ 是目标的状态。

为方便起见，我们将改进的 Chua 电路(44)以紧凑形式重写如下：
$$
\dot{s} = \begin{bmatrix} p & 7p & 0 \ 1 & -1 & 1 \ 0 & -q & 0 \end{bmatrix} s + \begin{bmatrix} -2ps_1^3/7 \ 0 \ 0 \end{bmatrix}, \quad As + f(s). \tag{45}
$$
系统(44)或(45)在 $ p = 10 $、$ q = 100/7 $ 和 $ s(0) = [1, 0, -1]^T $ 作用下是混沌的，如图1和图2所示。

在本节中，我们考虑一个包含三个传感器的扩散耦合传感器网络，该网络对应于方程(44)，显然，如果 $ \theta = 27/14p $ 成立，则假设1得到验证。令 $ \tau(t) = 1/2 - 1/2 e^{-t} $。

如果选择的 $ C_i $ 如下所示，则假设2得到验证：
$$
C_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad C_2 = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 2 \ 1 & -2 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad C_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 2 & 2 & 0 \ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}. \tag{46}
$$
如果考虑网络通信存在有效性损失，则通过仿真研究了以下故障情况，从而验证了假设3：
$$
\sigma_1 = \begin{bmatrix} 1/2 & 0 & 0 \ 0 & 1/2 & 0 \ 0 & 0 & 1/2 \end{bmatrix}, \quad \sigma_2 = \begin{bmatrix} \sin t & 0 & 0 \ 0 & \sin t \cos t & 0 \ 0 & 0 & \cos t \end{bmatrix}, \quad \sigma_3 = \begin{bmatrix} 3/10 & 0 & 0 \ 0 & 3/50 & 0 \ 0 & 0 & 1/3 \end{bmatrix}. \tag{47}
$$
内耦合矩阵 $ \Gamma $ 和一致性增益强度 $ \varepsilon $ 被选择为
$$
\Gamma = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad \varepsilon = 1. \tag{48}
$$
分别。

改进的Chua混沌系统(44)的混沌吸引子（彩色版本见在线版）

改进的Chua混沌系统(44)的状态响应（参见在线版本中的颜色）

无线传感器网络(9)的通信拓扑图选择为图3，其中传感器1与传感器2、传感器2与传感器3之间为单向传输信息，传感器1与传感器3之间为双向传输，所有传感器与目标之间均为单向传输信息。

无线传感器网络通信拓扑图（参见在线版本中的颜色）

由图3生成的通信耦合配置矩阵 $ C $ 的逆可以表示为
$$
C = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \ 1 & -1 & 0 \ 1 & 1 & -2 \end{bmatrix}. \tag{49}
$$
从定理1和算法1可知，分布式容错一致性滤波的步骤如下：
1. 按如下方式计算 $ L_i $ 和 $ Q_i $：
$$
L_1 = \begin{bmatrix} -81.1971 & 10.0648 & -11.5902 \ 14.7122 & -101.1780 & -16.1195 \ -13.2426 & -10.3064 & -71.2310 \end{bmatrix}, \quad Q_1 = \begin{bmatrix} 4.5620 & -2.0180 & -0.7018 \ 4.4306 & 2.2953 & -0.7018 \ 2.2953 & 4.3456 & 0 \end{bmatrix}, \quad P_1 = \begin{bmatrix} 0.2774 & 0.1420 & -0.0302 \ 0.1420 & 0.3833 & -0.1794 \ -0.0302 & -0.1794 & 0.3198 \end{bmatrix},
$$
$$
L_2 = \begin{bmatrix} -194.0052 & 28.4051 & -29.0744 \ 22.8033 & -237.3978 & -33.7489 \ -28.1391 & -21.0220 & -171.9941 \end{bmatrix}, \quad Q_2 = \begin{bmatrix} 10.8866 & -4.5719 & -1.5694 \ 10.4754 & 5.2143 & -1.5694 \ 5.2143 & 10.4027 & 0 \end{bmatrix}, \quad P_2 = \begin{bmatrix} 0.1133 & 0.0545 & -0.0102 \ 0.0545 & 0.1535 & -0.0687 \ -0.0102 & -0.0687 & 0.1290 \end{bmatrix},
$$
$$
L_3 = 1000 \times \begin{bmatrix} -1.2864 & 0.0601 & -0.1573 \ 0.0197 & -1.4243 & -0.0975 \ -0.1614 & 0.0016 & -1.1973 \end{bmatrix},
$$
$$
Q_3 = \begin{bmatrix} 69.5349 & -21.6699 & -6.3537 \ 63.6643 & 25.2496 & -6.3537 \ 25.2496 & 67.0807 & 0 \end{bmatrix}, \quad P_3 = \begin{bmatrix} 0.0161 & 0.0057 & -0.0006 \ 0.0057 & 0.0205 & -0.0072 \ -0.0006 & -0.0072 & 0.0175 \end{bmatrix},
$$
其中我们限制 $ L_1, Q_1 < 50I $, $ L_2, Q_2 < 100I $, $ L_3, Q_3 < 150I $, $ I $ 为适当维度的单位矩阵。

传感器1与目标的跟踪响应（彩色版本请见在线文章）

跟踪响应传感器2与目标（彩色版本请见在线文章）

传感器3与目标的跟踪响应（彩色版本请参见在线文章）

控制输入(12)的响应曲线（彩色版本请参见在线文章）

2. 计算控制器增益矩阵 $ K_{1i} $、$ K_{2ij} $、$ D_{ij} $，步骤如下：
   $$
   K_{11} = \begin{bmatrix} -20.7422 & -5.5889 & -3.0628 \ -9.7957 & -33.8012 & 12.5536 \ -2.9872 & 6.9492 & -20.5305 \end{bmatrix}, \quad K_{12} = \begin{bmatrix} -11.1217 & 2.1128 & 18.5295 \ -13.2269 & 16.4344 & 38.1732 \ 0.4776 & -3.5269 & -21.4124 \end{bmatrix}, \quad K_{13} = \begin{bmatrix} -12.8872 & -3.6968 & -2.3773 \ 12.1087 & -9.9485 & 8.4966 \ 11.3876 & -6.6106 & -20.9198 \end{bmatrix},
   $$
   $$
   K_{211} = [I] {3 \times 3}, \quad K {212} = [0] {3 \times 3}, \quad K {213} = -[I] {3 \times 3}, \quad K {221} = -[I] {3 \times 3}, \quad K {222} = [I] {3 \times 3}, \quad K {223} = [0] {3 \times 3}, \quad K {231} = -[I] {3 \times 3}, \quad K {232} = -[I] {3 \times 3}, \quad K {233} = 2[I] {3 \times 3},
   $$
   $$
   D {11} = -P_1, \quad D_{12} = [0] {3 \times 3}, \quad D {13} = P_1, \quad D_{21} = P_2, \quad D_{22} = -P_2, \quad D_{23} = [0] {3 \times 3}, \quad D {31} = P_3, \quad D_{32} = P_3, \quad D_{33} = -2P_3.
   $$
   (51)

3. 根据方程(50)和(51)，计算分布式容错性控制器(12)。

4. 对于具有初始条件的分布式容错一致性滤波器(9)、(12)、(13)以及通信故障(47)：
   $$
   s(0) = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ -1 \end{bmatrix}, \quad x_1(0) = \begin{bmatrix} -1 \ 2 \ 3 \end{bmatrix}, \quad x_2(0) = \begin{bmatrix} -3 \ 1 \ 1 \end{bmatrix}, \quad x_3(0) = \begin{bmatrix} -1 \ 2 \ 3 \end{bmatrix}.
   $$
   (52)

自适应增益(13)选择为 $ \gamma_{ik} = i \cdot k $，($ i, k \in I $)

数值仿真结果如图4–7所示。

图4至图6分别展示了考虑通信故障时传感器1–3的跟踪轨迹。从图4至图6可以看出，在存在通信故障的情况下，传感器1–3的状态能够渐近跟踪目标，表明传感器1–3对目标实现了良好跟踪。图7展示了控制输入 $ u_i(t) $ ($ i = 1, 2, 3 $)，且控制输入的值在可接受范围内。这些结果表明，即使在通信故障情况下，通过适当的控制信号，传感器的跟踪轨迹仍能接近目标，说明已实现分布式容错一致性滤波。

此外，我们考虑一个具有双向传输通信拓扑图的无线传感器网络，如图8所示，由图8生成的通信耦合配置矩阵 $ C $ 的逆矩阵可表示为
$$
C = \begin{bmatrix} -2 & 1 & 1 \ 1 & -2 & 1 \ 1 & 1 & -2 \end{bmatrix}. \tag{53}
$$
根据定理2，无线传感器网络的跟踪误差曲线如图9所示。

无线传感器网络通信拓扑图（彩色版本请见在线版）

无线传感器网络中目标的跟踪误差 $ \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} |e_{ij}(t)| $ 曲线（彩色版本请参见在线文档）

注释13 : 所有数值仿真结果表明，本文主要结果在确保存在通信故障的无线传感器网络中实现分布式容错一致性滤波方面具有有效性。

5 结论

本文设计、分析并仿真了一种在存在通信故障的无线传感器网络中的分布式容错一致性滤波器。论文中考虑了无线传感器网络模型的三种场景，即通信网络延迟、扰动以及传输故障因素，这些因素将通过传输故障信息导致网络性能下降甚至网络不稳定。为了估计未知的故障元素，推导出一种基于某些自适应律的分布式自适应方案。在每个传感器均可测量目标的条件下，可将分布式控制器添加到所有传感器节点，实现了存在通信故障的无线传感器网络的渐近跟踪。最后，给出了一个数值例子以证明所提出的分布式容错一致性滤波方法的有效性。

分布式容错一致性滤波方案非常有效，具有诸多优点，即更容易实现、成本低、容错性高、速度快等。本文提出了一种分布式容错一致性滤波器设计的通用框架，这是一种很有前景的方法，因此值得在近期未来进行进一步研究。