周练22021-07-27

最新推荐文章于 2022-11-28 22:48:06 发布

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本文介绍了两道数学题目，第一题涉及图论中的计数三角形问题，通过优化算法避免了暴力枚举导致的时间超限。第二题是关于数值的性质探究，通过寻找规律并进行动态规划求解。两题均展示了在解决数学问题时如何运用计算机思维和算法技巧。

Counting triangles
原题连接
题目大意是说，给了你n个点，每个点与其他点都有线相连，这条线用0或1来表示，如果三点之间的线是相同的，那么就找到一个题目要求的三角形，问给定的完全图中，可以找到多少这样的三角形。

这题做了很久，没有做出来，是因为暴力一定会超时，我们每一个点边枚举，复杂度不够，所以这里采用了排除的方法，也就是从一个点出发的两条边，这一点两边可以确定一个三角形，根据这个性质，可以统计每个点有多少条0边，多少条1边，两者相乘，则乘出来的这些三角形都不符合题目条件，需要减去，最后把所有点枚举完相加除2即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;


namespace GenHelper
{
    unsigned z1,z2,z3,z4,b,u;
    unsigned get()
    {
        b=((z1<<6)^z1)>>13;
        z1=((z1&4294967294U)<<18)^b;
        b=((z2<<2)^z2)>>27;
        z2=((z2&4294967288U)<<2)^b;
        b=((z3<<13)^z3)>>21;
        z3=((z3&4294967280U)<<7)^b;
        b=((z4<<3)^z4)>>12;
        z4=((z4&4294967168U)<<13)^b;
        return (z1^z2^z3^z4);
    }
    bool read() {
      while (!u) u = get();
      bool res = u & 1;
      u >>= 1; return res;
    }
    void srand(int x)
    {
        z1=x;
        z2=(~x)^0x233333333U;
        z3=x^0x1234598766U;
        z4=(~x)+51;
      	u = 0;
    }
}
using namespace GenHelper;
bool edge[8005][8005];
int u0[8005], v[8005];
int main() {
  int n, seed;
  cin >> n >> seed;
  srand(seed);
  for (int i = 0; i < n; i++)
    	for (int j = i + 1; j < n; j++)
        	edge[j][i] = edge[i][j] = read();
//    for(int i = 0; i < n; i++){
//        for(int j = 0; j < n; j++)
//            cout << edge[i][j] << " ";
//        cout << endl;
//    }
    for(int i = 0; i < n; i++){
        for(int j = i + 1; j < n; j++){
            if(edge[i][j] == 0) u0[i]++, u0[j] ++;
            else v[i] ++, v[j] ++;
        }
    }
    long long ans = 0;
    long long cnt = 1ll * n * (n - 1) * (n - 2) / 6;
    for(int i = 0; i < n; i++) ans += u0[i] * v[i];
    cout << cnt - ans /2 << endl;
 	return 0;
}

Math

xy+1∣x ^ 2 +y ^ 2,这题就是给了这个公式，给了我们一个n，问有多少1≤x≤y≤n满足这个式子的数

刚开始在找规律，找完发现是道打表题，具体怎么打的，也是一知半解。但根据规律找出来，x^3是一个临界点，没有一个值会使得三次大于1e18，以下是代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N = 1e18;
const int M=5e6+5;
ll p[M],m,n;
int main(){
	p[m++]=1;
	for(ll k=2;k*k*k<=N;k++){
		ll x=k,y=k*k*k;
		p[m++]=y;
		while(y<=(N+x)/k/k){
			x=k*k*y-x;
			swap(x,y);
			p[m++]=y;
		}
	}
	sort(p,p+m);
	int t;
	cin>>t;
	while(t--){
		cin>>n;
		cout<<upper_bound(p,p+m,n)-p<<endl;
	}
	return 0;
}