31、单级和级联放大器的频率特性

单级和级联放大器的频率特性

1. 单级放大器频率特性基础

1.1 频率特性与电压增益

在电子电路中，放大器的频率特性至关重要。对于单级放大器，其在低频和高频时的电压增益有所不同。

低频时，电压增益 (A_{vL}) 可由以下关系得出：
[A_{vL}=\frac{A_{mL}}{1 - j\frac{\omega}{\omega_{L}}}]
其中，(A_{mL}) 取决于电路参数，(\omega_{L}) 是低频半功率点。例如，对于特定的晶体管放大器电路，(\omega_{L}) 和 (A_{mL}) 有相应的定义。

高频时，电压增益 (A_{vH}) 为：
[A_{vH}=\frac{A_{mH}}{1 + j\frac{\omega}{\omega_{H}}}]
这里，(A_{mH}) 取决于电路参数，(\omega_{H}) 是高频半功率点。

1.2 综合频率特性

将低频和高频特性结合，电压增益 (A_{v}) 可通过将低频和高频特性的关系式相乘得到：
[A_{v}=\frac{A_{mL}A_{mH}}{(1 + j\frac{\omega}{\omega_{L}})(1 + j\frac{\omega}{\omega_{H}})}]

1.3 示例代码分析

以下是一段用于绘制多级放大器低频特性的 MATLAB 代码：

f=w./(2.*pi); 
semilogx(f, AcdB); 
grid;
xlabel('Frequency in Hz (log scale)'); 
ylabel('Current gain (dB scale)');
title('Low-frequency characteristics for multistage amplifier, Example 8.8')

此代码将频率 (w) 转换为赫兹 (f)，并以对数刻度绘制电流增益 (AcdB) 与频率的关系图。

1.4 电路参数示例

给出了一系列电路参数，如下表所示：
| 参数 | 值 |
| ---- | ---- |
| (R_A) | 56.00 K |
| (R_B) | 12.00 K |
| (R_2) | 6.80 K |
| (R_3) | 2.20 K |
| (R_4) | 1.00 K |
| (R_1) | 9.88 K |
| (R_1’) | 4.03 K |
| (r_b’) | 0.20 K |
| (r_{be}) | 5.00 K |
| (r_n) | 5.20 K |
| (I_c) | 1.00 mA |
| (\beta) | 200 |
| (f_4) | 16.00 Hz |
| (\omega_4) | 100.53 rps |
| (C_{4b}) | 1.28 μF |
| (g_m) | 40.00 mmho |
| (k_3) | 47.92 |
| (f_3) | 3.27 Hz |
| (\omega_3) | 20.55 rps |
| (C_3) | 22.12 μF |
| (\omega_5) | 20.55 rps |
| (C_{4d}) | 2.92 μF |
| (A_m) | 87.30 |

2. 多级放大器的整体特性

2.1 相同级联放大器的电压增益

当两个相同的放大器级联时，整体电压增益 (A_{v}) 为：
[A_{v}=\frac{A_{m}^{2}}{(1 + j\frac{\omega}{\omega_{L}})^2(1 + j\frac{\omega}{\omega_{H}})^2}]
其整体幅度特性如图所示，通过与单级放大器的幅度特性比较，可以发现随着级联级数的增加，半功率点之间的带宽会减小。

2.2 带宽与级联级数的关系

对于 (n) 个相同级联的放大器，其半功率带宽 (B_n) 为：
[B_n = B_1(2^{\frac{1}{n}} - 1)]
其中，(B_1) 是单级放大器在中高频时的半功率频率。不同级数的带宽缩减因子如下：
| 级数 (n) | 带宽缩减因子 |
| ---- | ---- |
| 2 | 0.64 |
| 3 | 0.51 |
| 4 | 0.43 |

2.3 非相同级联放大器的电压增益

若两个非相同的放大器级联，整体电压增益为：
[A_{v}=\frac{A_{m1}A_{m2}}{(1 + j\frac{\omega}{\omega_{L1}})(1 + j\frac{\omega}{\omega_{L2}})(1 + j\frac{\omega}{\omega_{H1}})(1 + j\frac{\omega}{\omega_{H2}})}]

2.4 极点 - 零点模式表示

为了更方便地分析电压增益，可将其表示为极点 - 零点模式。令 (K = -A_{mL}A_{mH}\omega_{H})，则电压增益 (A_{v}(j\omega)) 可表示为：
[A_{v}(j\omega)=\frac{Kj\omega}{(j\omega + j\omega_{L})(j\omega + j\omega_{H})}]
通过替换符号 (s = j\omega)，并定义 (s_{L}=-\omega_{L}) 和 (s_{H}=-\omega_{H})，可将其写为：
[A_{v}(s)=\frac{Ks}{(s - s_{L})(s - s_{H})}]
对于任何频率 (\omega)，稳态电压增益可通过令 (s = j\omega) 得到。

2.5 极点和零点的意义

在电压或电流增益的表达式中，使函数为零的值称为零点，使函数无穷大的值称为极点。例如，对于电压增益 (A_{v}(s)=\frac{K(s + 1)(s + 3)}{(s + 2)(s + 4)})，(s = -1) 和 (s = -3) 是零点，(s = -2) 和 (s = -4) 是极点。零点对应渐近特性中 (20 dB/decade) 的向上转折，极点对应 (20 dB/decade) 的向下转折。

2.6 极点 - 零点图

极点 - 零点图是一种有用的工具，用于展示电压或电流增益的极点和零点与频率特性的关系。例如，对于单级放大器的电压增益，其极点 - 零点图如下：

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    classDef decision fill:#FFF6CC,stroke:#FFBC52,stroke-width:2px;

    A(Real axis):::process --> B(sH):::process
    A --> C(sL):::process
    D(Imaginary axis):::process --> E(jω):::process
    style A fill:#ffffff,stroke:#000000,stroke-width:2px
    style D fill:#ffffff,stroke:#000000,stroke-width:2px

在这个图中，零点 (s = 0) 用原点的圆圈表示，极点 (s = s_{L}=-\omega_{L}) 和 (s = s_{H}=-\omega_{H}) 用负实轴上的叉号表示。对于稳态正弦操作，变量 (s = j\omega) 对应虚轴上的某个点。

3. 多级级联放大器的放大和功率增益

3.1 功率增益的定义

对于电压放大器，其瞬时输入功率 (p_{in}) 和输出功率 (p_{out}) 分别为：
[p_{in}=\frac{v_{1}^{2}}{R_{1}}]
[p_{out}=\frac{v_{2}^{2}}{R_{L}}]
功率增益 (G_{p}) 以 dB 为单位定义为：
[G_{p}=10\log\frac{p_{out}}{p_{in}} = 10\log\frac{v_{2}^{2}R_{1}}{v_{1}^{2}R_{L}} = 20\log\frac{v_{2}}{v_{1}} + 10\log\frac{R_{1}}{R_{L}}]
在通信电路中，通常希望 (R_{L}=R_{1})，此时功率增益简化为 (G_{p}=20\log\frac{v_{2}}{v_{1}})，即电压增益 (A_{v}) 的 20 倍对数。

3.2 三级放大器示例

考虑一个三级放大器，其各级的电压放大和功率增益计算如下：
- 第一级 ：
- 电压增益 (A_{v1}=20\log\frac{v_{2}}{v_{1}} = 20\log\frac{100v_{1}}{v_{1}} = 40 dB)
- 功率增益 (G_{p1}=A_{v1}+10\log\frac{1 M\Omega}{1 M\Omega}=40 dB)
- 第二级 ：
- 电压增益 (A_{v2}=20\log\frac{v_{3}}{v_{2}} = 20\log\frac{50v_{2}}{v_{2}} = 34 dB)
- 功率增益 (G_{p2}=A_{v2}+10\log\frac{1 M\Omega}{50 K\Omega}=34 + 13 = 47 dB)
- 第三级 ：
- 电压增益 (A_{v3}=20\log\frac{v_{4}}{v_{3}} = 20\log\frac{2v_{3}}{v_{3}} = 6 dB)
- 功率增益 (G_{p3}=A_{v3}+10\log\frac{50 K\Omega}{10 \Omega}=6 + 37 = 43 dB)

整体电压增益 (A_{v}=20\log\frac{v_{4}}{v_{1}} = 20\log\frac{10000v_{1}}{v_{1}} = 80 dB)
整体功率增益 (G_{p}=A_{v}+10\log\frac{1 M\Omega}{10 \Omega}=80 + 50 = 130 dB)

3.3 总结

综上所述，放大器的频率特性、多级级联特性以及功率增益等方面都有其独特的规律和计算方法。在设计和分析放大器电路时，需要综合考虑这些因素，以满足不同的应用需求。例如，在设计多级放大器时，要注意级联级数对带宽的影响；在计算功率增益时，要考虑输入和输出电阻的匹配。通过合理运用这些知识，可以优化放大器的性能，使其更好地服务于各种电子设备。

4. 放大器相关概念总结

4.1 信号的表示与频谱

• 周期性信号可以通过傅里叶级数表示为正弦分量的叠加，形式为 (v(t)=V + V_1\cos(\omega t+\theta_1)+V_2\cos(2\omega t+\theta_2)+V_3\cos(3\omega t+\theta_3)+\cdots)，其中 (V) 是复合信号的直流分量，(\omega) 是基频或一次谐波，(2\omega) 是二次谐波，(3\omega) 是三次谐波，以此类推。
• 非周期性信号可以近似表示为多个正弦分量的叠加，形式为 (v(t)=V + V_1\cos(\omega_1 t+\theta_1)+V_2\cos(\omega_2 t+\theta_2)+V_3\cos(\omega_3 t+\theta_3)+\cdots)，其中 (V) 是复合信号的直流分量，(\omega_1)、(\omega_2)、(\omega_3) 等不是谐波相关的。
• 信号的频谱能揭示信号的频率和幅度信息，但不包含各分量的相位角信息。

4.2 放大器的频率特性影响因素

• 放大器在高频时增益下降是由于电路中的寄生电容，在低频时增益下降是因为耦合电容的存在。
• 对于设计良好的放大器，在低频和高频频段附近的放大倍数不应低于频段中间放大倍数的 70%。
• 如果放大器对信号的每个正弦分量的相位延迟与该分量的频率成正比，那么输出信号的波形将是输入信号波形的精确副本，但会有时间延迟。
• 晶体管放大器在低频时的性能受与发射极电阻并联的旁路电容的影响。

4.3 放大器的设计与特性

• 低频晶体管放大器电路有其特定的设计方法，高频晶体管放大器电路也有相应的设计要点。
• 晶体管的放大特性会增加集电极电容的表观值，这种现象称为米勒效应。
• 分析各种放大器电路的频率特性时，通常分别处理低频和高频特性，但也可以将两者的特性显示在同一组坐标上。
• 为了获得更高的增益，常使用多级放大器电路，多级放大器的整体特性可以通过渐近线轻松近似和显示。

5. 练习题分析

5.1 练习题 1

对于一个晶体管放大器，已知 (R_A = 33 K\Omega)，(R_B = 15 K\Omega)，(R_2 = 2 K\Omega)，(R_3 = 1 K\Omega)，输入电阻 (r_n = 500 \Omega)，(\beta = 80)。要求找到电容 (C_3) 的值，使得低频模型的最高转折频率为 (1 KHz)。
解题步骤：
1. 根据低频模型的相关公式，结合已知的电阻和增益等参数，建立关于电容 (C_3) 和转折频率的方程。
2. 通过解方程求出电容 (C_3) 的值。

5.2 练习题 2

一个晶体管用于视频信号放大，高频模型具有特定形式。已知静态集电极电流 (I_C = 1 mA)，集电极负载电阻 (R_2 = 1 K\Omega)，晶体管参数 (\beta = 50)，(r_b’ = 50 \Omega)，(C_c = 3 pF)，(r_o = 30 K\Omega)，电流增益 - 带宽频率 (f_T = 200 MHz)，要求放大器电路的高频电流增益半功率点为 (3 MHz)。
任务包括：
- 确定 (g_m)、(r_{be})、(C_e) 的值以及米勒效应。
- 首先根据公式 (g_m=\frac{I_C}{V_T})（其中 (V_T\approx26mV)）计算 (g_m)。
- 再根据 (r_{be}=r_b’+\beta\frac{V_T}{I_C}) 计算 (r_{be})。
- 利用高频模型的相关公式和已知条件计算 (C_e)。
- 通过分析电路和相关参数计算米勒效应。
- 确定 (R_1) 的值。
- 根据高频半功率点的要求和已计算出的参数，结合高频模型公式计算 (R_1)。
- 计算在 (R_1) 值确定后的中频段电流放大倍数。
- 根据中频段的电流放大公式和已有的参数进行计算。

5.3 练习题 3

对于一个级联放大器电路，晶体管相同，已知 (R_A = 56 K\Omega)，(R_B = 12 K\Omega)，(R_2 = 6.8 K\Omega)，(R_3 = 2.2 K\Omega)，(R_4 = 1 K\Omega)，静态集电极电流 (I_C = 1 mA)，(\beta = 200)，(r_b’ = 200 \Omega)，(C_C = 20 pF)，(f_T = 8 MHz)，输出电阻 (r_o) 很大可忽略。
任务如下：
- 求简化高频模型电路的参数值。
- 根据晶体管参数和电路特点，利用相关公式计算简化模型中的各个参数。
- 忽略模型电路中电阻 (R_A) 的影响，求整体电流增益 (A_c=\frac{I_3}{I_1})。
- 利用简化后的电路模型和已知参数，通过电流增益的计算公式求出 (A_c)。
- 绘制并标注高频幅度特性的渐近线。
- 根据计算出的参数和频率特性的规律，绘制渐近线并标注关键信息。

5.4 练习题 4

证明 (n) 个相同级联放大器的半功率带宽 (B_n = B_1(2^{\frac{1}{n}} - 1))，其中 (B_1) 是单级放大器在中高频时的半功率频率。
证明步骤：
1. 假设单级放大器的电压增益幅度为 (A_v = \frac{A_m}{\sqrt{1 + (\frac{\omega}{\omega_H})^2}})。
2. 对于 (n) 个相同级联的放大器，其整体电压增益幅度为 (A_{v,n}=(\frac{A_m}{\sqrt{1 + (\frac{\omega}{\omega_H})^2}})^n)。
3. 根据半功率点的定义，当 (A_{v,n}=\frac{A_{m,n}}{\sqrt{2}}) 时，求解出对应的频率，进而得到半功率带宽 (B_n) 的表达式。

5.5 练习题 5

给出两个晶体管放大器的电压增益的极点 - 零点模式图。
问题包括：
- 判断两个放大器是否能传输直流信号。
- 根据极点 - 零点模式图中是否存在使直流信号增益为零的零点来判断。
- 使用 MATLAB 绘制图 (b) 的极点 - 零点模式对应的幅度特性图，假设函数乘以常数 (K = 40000)。
- 编写 MATLAB 代码，根据极点 - 零点模式构建电压增益函数，并乘以常数 (K)。
- 使用 MATLAB 的绘图函数绘制幅度特性图。

5.6 练习题 6

一个立体声放大器开路输出正弦电压为 (10 mV_{RMS})，内阻为 (500 \Omega)，要将信号输送到电阻为 (10 \Omega) 的扬声器。
问题如下：
- 如果放大器直接连接到扬声器，计算输送到扬声器的功率。
- 根据功率公式 (P=\frac{V^2}{R})，结合放大器和扬声器的参数计算功率。
- 使用类似图 (a) 的级联放大器级来放大信号并向扬声器输送 (10 W) 功率，比较图 (b) 和图 (c) 两种放大器，判断哪种能以最小输入电压输送 (10 W) 到扬声器。
- 分别计算两种放大器在达到 (10 W) 输出功率时所需的输入电压，进行比较。
- 判断图 (b) 和图 (c) 哪种放大器的空载电压放大倍数最大。
- 根据放大器的电路结构和参数，计算空载电压放大倍数并比较。
- 绘制一个由图 (b) 和图 (c) 类型的级组成的级联电路，满足上述要求，并说明如何使用 (1) 个电位器在第一级作为音量控制。
- 根据前面的计算和分析，设计级联电路。
- 说明电位器在第一级如何调节输入信号，从而实现音量控制。

6. 总结与展望

通过对放大器的频率特性、多级级联特性、功率增益以及相关练习题的分析，我们深入了解了放大器的工作原理和设计要点。在实际应用中，需要根据具体需求选择合适的放大器电路和参数，以达到最佳的性能。未来，随着电子技术的不断发展，放大器的性能将不断提高，应用领域也将不断拓展。例如，在通信、音频、视频等领域，对放大器的带宽、增益、线性度等性能指标的要求将越来越高。因此，我们需要不断学习和研究，以适应这些新的挑战和需求。

总之，放大器作为电子电路中的重要组成部分，其性能的优化和应用的拓展对于整个电子系统的发展至关重要。我们应充分利用所学的知识，不断探索和创新，为电子技术的进步贡献自己的力量。