算法设计与性能优化实践-优快云博客

1、回文单词检测器：回文单词正读和反读相同，例如“madam”。设计一个算法来验证一个长度为N的单词是否为回文。之后，设计实验来确认该算法比另外两种替代算法性能更优。当这个问题解决后，对算法进行修改，使其能够检测包含空格、标点符号和大小写混合的回文字符串。例如，以下字符串应被归类为回文：“A man, a plan, a canal. Panama!”

可以设计一个算法，使用双指针法验证单词是否为回文。具体步骤如下：

设置两个指针，一个指向字符串开头，一个指向结尾。
比较两个指针所指字符是否相同：
若不同，则该字符串不是回文。
若相同，则将两个指针向中间移动，重复比较过程。
重复上述比较，直到两个指针相遇或交叉。若所有对应字符均相同，则该字符串是回文。

对于包含空格、标点和大小写混合的字符串，可进行如下预处理步骤：

去除字符串中的空格和标点。
将所有字符转换为小写。
使用上述双指针法验证处理后的字符串是否为回文。

为确认该算法比另外两种替代算法性能更优，可通过以下方式进行实验验证：

记录不同算法处理不同长度字符串的时间。
对比各算法的运行时间差异，分析性能优劣。

2、计数排序：已知任意列表A仅包含从0到M的非负整数，有一个算法仅使用大小为M的额外存储空间就能对A进行正确排序。该算法中有嵌套循环，即while循环内嵌套一个for循环，且可以证明A[pos + idx] = v仅执行N次。进行性能分析，证明对范围从0到M的N个整数进行排序的时间会随着N的大小翻倍而翻倍。利用Python中用sublist[left:right] = [2,3,4]替换子列表的功能来消除内层for循环，从而提高此操作的性能。做出更改并通过实验验证，当N翻倍时，排序时间也翻倍，同时速度提升30%。

要证明对范围从0到M的N个整数进行排序的时间会随着N的大小翻倍而翻倍，需分析计数排序算法的时间复杂度。

原计数排序算法中，第一个`for`循环遍历列表A，时间复杂度为O(N)；第二个`while`循环和内部的`for`循环用于将元素放回原列表，由于`A[pos+idx] = v`仅执行N次，所以这部分时间复杂度也是O(N)，整体时间复杂度为O(N + M) 。

当M相对稳定，N翻倍时，整体时间也近似翻倍。

消除内层`for`循环的优化方法是利用Python的子列表替换功能。修改后的代码示例如下：

```python
def counting_sort(A, M):
    counts = [0] * M
    for v in A:
        counts[v] += 1
    pos = 0
    v = 0
    while pos < len(A):
        A[pos:pos+counts[v]] = [v] * counts[v]
        pos += counts[v]
        v += 1
    return A

要验证当N翻倍时排序时间也翻倍且速度提升30%，可以使用Python的 timeit 模块进行性能测试。通过生成不同大小的测试数据，分别测试原算法和优化后算法的运行时间，对比结果即可完成验证。


##3、评估以下每个代码片段的时间复杂度：片段 1：有三层嵌套循环，最外层循环 100 次，中间层循环 N 次，最内层循环 10000 次；片段 2：有三层嵌套循环，前两层都循环 N 次，最内层循环 100 次；片段 3：有两层嵌套循环，循环步长为 2；片段 4：有一个 while 循环，每次将 N 整除 2；片段 5：有两层嵌套循环，外层步长为 3，内层步长为 2。
- 片段 1：时间复杂度为 O(N)
- 片段 2：时间复杂度为 O(N²)
- 片段 3：时间复杂度为 O(N²)
- 片段 4：时间复杂度为 O(log N)
- 片段 5：时间复杂度为 O(N²)

##4、使用合适的技术对函数f4返回的ct值进行建模。函数f4定义如下：def f4(N): ct = 1 while N >= 2: ct = ct + 1 N = N ** 0.5 return ct。发现常见的模型都不准确，需基于a × log(log(N))（以2为底）来开发一个模型。生成一个直到N = 250的表格，包含实际结果与模型结果的对比。具有这种行为的算法将被归类为O(log(log(N)))。
# 解决此问题的方法

要解决此问题，首先要明确需基于 $ a \times \log_2(\log_2(N)) $ 构建模型来模拟 `f4` 函数返回的 `ct` 值。步骤如下：

1. 编写 `f4` 函数以获取实际结果；
2. 确定 $ a $ 的值，可通过一些样本数据用曲线拟合等方法确定，这里未给出具体确定 $ a $ 的方法，可先假设 $ a $ 为某值；
3. 计算从 $ N = 1 $ 到 $ N = 250 $ 时 `f4` 函数的实际结果和模型结果；
4. 生成包含 $ N $、实际结果和模型结果的表格。

## 示例 Python 代码

```python
import math

# 定义f4函数
def f4(N):
    ct = 1
    while N >= 2:
        ct = ct + 1
        N = N ** 0.5
    return ct

# 假设a的值
a = 1

# 生成表格
print('N 实际结果 模型结果')
for N in range(1, 251):
    actual_result = f4(N)
    model_result = a * math.log2(math.log2(N)) if N > 1 else 0
    print(f'{N} {actual_result} {model_result}')