QQ数论问题解析-优快云博客

3 、数论题（ number .pas s /cpp ）
【问题描述】
企鹅国数学家 QQ 潜心研究数论，终于发现了一个简单的数论问题！
一个 QQ 数定义为一个拥有一个大于 1 的完全平方数为因子的数字，一个数字的 QQ 值定
义为这个数是 QQ 数的因数个数。
现在 QQ 想知道在[L,R]范围内，每个整数的 QQ 值之和是多少？
你只需要告诉他这个数字，他就可以给你宝贵的 10 分作为一个奖励！
【输入格式】
第一行两个整数 L, R 代表要求的数字范围；
【输出格式】
输出一个整数表示 L~R 里每个数字的 QQ 值之和。
【输入样例】
1 10
【输出样例】
4
【样例说明】
4 的 QQ 值为 1，8 的 QQ 值为 2，9 的 QQ 值为 1。
【数据范围】
对于 10%的数据，R≤10^4；
对于另外 30%的数据，R≤10^6；
对于另外 10%的数据，R≤10^7；
对于 100%的数据，1≤L≤R≤10^9；

分析：

10%：
枚举每个数的因数判断是不是 QQ 数，再枚举因数计算 QQ 值。
复杂度 O(N^2)
30%:
一个数的 QQ 值为这个数的因数个数-2^(质因子个数)
复杂度 O(NlogN)
40%:
实际上上面这个值是可以线筛的。
复杂度 O(N)
100%:
一个数的 QQ 值可以分开算，分为因数个数和后面这一部分，前一部分是一个
因数个数前缀和。
前面的前缀和= Σ(N/i) 下底分块计算即可
后面一部分 = ΣΣμ(j)^2 (j 是 i 的因数，外层循环 i = 1~N，内侧枚举
j)
=Σμ(j)^2 * (N/j) (j = 1~N)
这一个由于 N/j 只有 O( √N )个值,所以我们解决μ(i)^2 的前缀和就好了，
这部分使用容斥或者莫比乌斯函数解决就可以了。

Σμ(i)^2 = Σμ(j)*(N/j/j) (i = 1~N , j = 1~√N)

下面给出标程：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 100005
typedef long long LL;
int prim[maxn],mi[maxn],l,r,tot;
LL ans;
bool flag[maxn];

LL solve(int x){
int n=sqrt(x);
LL ans=0;
for (int i=2;i<=n;i++)
ans+=(-mi[i])*(x/(i*i));
return ans;
}

LL calc(int MX){
LL ret = 0;
int last=1,last_pre=0;
for (int i=last;i<=MX;i=last+1)
{
last=MX/(MX/i);
LL tmp=solve(last);
ret+=(LL)(tmp-last_pre)*(MX/i);
last_pre=tmp;
}
return ret;
}

int main(){
freopen("number.in","r",stdin);
freopen("number.out","w",stdout);
scanf("%d%d",&l,&r);
int n=sqrt(r);
mi[1]=1;
for (int i=2;i<=n;i++)
{
if (!flag[i]) prim[++tot]=i,mi[i]=-1;
for (int j=1;j<=tot;j++)
{
if (i*prim[j]>n) break;
flag[i*prim[j]]=1;
if (i%prim[j]==0) break;
mi[i*prim[j]]=-mi[i];
}
}
ans = calc(r) - calc(l-1);
cout << ans <<endl;
return 0;