上海计算机学会11月月赛乙组题解

最新推荐文章于 2025-10-09 13:49:10 发布

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#算法 #c++ #数据结构 #动态规划 #深度优先 #广度优先

本文是上海计算机学会11月月赛乙组题解，涉及字符串、贪心、二分等多种算法。包含四题：T1连接数字需用贪心策略排序；T2桌式足球用二分和贪心求最少操作次数；T3树的匹配用树形动态规划和乘法逆元求解；T4平分子集用状态压缩和折半枚举统计可平分的子集数量。

上海计算机学会11月月赛乙组题解
本次比赛涉及算法：字符串、贪心、二分、思维、树形动态规划、乘法逆元、状态压缩、折半枚举。

比赛链接：https://iai.sh.cn/contest/57

第一题：T1连接数字

标签：字符串、贪心
题意：给定 $n$ 个十进制正整数 $a_1,a_2,…,a_n$ ，将它们重新排列后拼接起来，尽可能地变成一个大数字，输出这个巨大的数字。 $1<=n<= 100000，1<=a_i<=10^{18})$
题解：洛谷 P1012 拼数（原题），很明显需要给这个序列重新排序，然后输出这个序列。那问题就转变成了，需要按什么规则进行排序，这里需要想一个好的贪心策略。

假设按数字大小从大到小排序，很明显能举出一个反例： $111 、 9$ ； $1119 < 9111$
到这步能比较容易想到以字符串的方式读入，似乎更可行点。按字符串字典序从大到小排序，上面是满足了，但是也能举出反例： $32 、 3$ ； $323 < 332$ 。因为字符串比较，如果能比较的位都一样，认为长的字符串字典序大。
然后我们发现题目中更像是拼接的形式，我们会去考虑把两个字符串 $a + b$ 拼接，或者 $b + a$ 拼接，然后进行比较大小，发现上面的反例都能满足。那我们就认为该贪心策略是对的。贪心策略是否是正确的，很多时候都很难去证明，我们想一道题的贪心策略的时候，多举反例，只要有一个反例，那你当前想的这个策略就是错的，需要想新的贪心策略。（类似 $1 、 2$ ）

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;
string s[100005];

bool cmp(string a, string b) {
   
   
    return a + b > b + a;
}

int main() {
   
   
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> s[i];
    sort(s + 1, s + 1 + n, cmp);
    for (int i = 1; i <= n; i++) cout << s[i];
    return 0;
}

标签：二分、贪心、思维
题意：给定一条数轴上 $n$ 个球和 $m$ 个球洞的坐标，球的坐标分别为 $x_1,x_2,...,x_n$ ，球洞的坐标分别为 $p_1,p_2,...p_m$ 。每一轮，可以把所有球整体向左平移一格，或整体右移一格，如果有球经过平移掉入球洞，就会一直待在洞里，后续操作也不会对其有影响，求将所有球落入球洞中，需要的最少操作次数。
（ $1≤n,m≤2×10^5,−10^9≤x_i,p_i≤10^9$ ，且数据保证没有 $x_i=p_j$ ）
题解：首先，肯定得给这些球和球洞坐标分别从小到大排序。然后观察样例，发现样例是先把所有球往右移动 $1$ 格，再往左移动 $4$ 格最优。

能够想到最终的最少操作次数肯定是：一直往右、一直往左、先往左再往右、先往右再往左 这四种情况中较小次数的那个。