51nod 1192 Gcd表中的质数

最新推荐文章于 2020-03-14 22:44:10 发布

oorzhang

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分类专栏：数学数论文章标签：莫比乌斯反演

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/ocgcn2010/article/details/51443306

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本文介绍了一种计算特定范围内质数数量的高效算法。通过枚举质数并使用莫比乌斯函数进行优化，该算法能在较短时间内计算出M*N表格中质数的数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

有一个M * N的表格，行与列分别是1 - M和1 - N，格子中间写着行与列的最大公约数Gcd(i, j)(1 <= i <= M, 1 <= j <= N)。
例如：M = 5, n = 4。

1 2 3 4 5
1 1 1 1 1 1
2 1 2 1 2 1
3 1 1 3 1 1
4 1 2 1 4 1

给出M和N，求这张表中有多少个质数。
Input
第1行：一个数T，表示后面用作输入测试的数的数量。（1 <= T <= 1000)
第2 - T + 1行：每行2个数M,N，中间用空格分隔，表示表格的宽和高。(1 <= M, N <= 5 * 10^6)
Output
共T行，每行1个数，表示表格中质数的数量。
Input示例
2
10 10
100 100
Output示例
30
2791

分析：

容易想到是枚举质数p，然后推导公式。然而就是这么做。

推导：

默认n<=m
[s]表示如果s为真，则表达是为1，[p]表示p为质数是为1，否则为0；

A N S (m, n) = \sum p \sum i = 1 ⌊ n p ⌋ \sum j = 1 ⌊ m p ⌋ [(i, j) = 1] [p] = \sum p \sum i = 1 ⌊ n p ⌋ \sum j = 1 ⌊ m p ⌋ \sum k = 1 μ (k) [k | i, k | j] [p] = \sum p \sum k = 1 ⌊ n p ⌋ \sum i = 1 ⌊ n k p ⌋ \sum j = 1 ⌊ m k p ⌋ μ (k) [p] = \sum k = 1 n \sum p = 1 ⌊ n k ⌋ ⌊ n k p ⌋ ⌊ m k p ⌋ μ (k) [p] = \sum k = 1 n \sum p | k ⌊ n k ⌋ ⌊ m k ⌋ μ (k p) [p] = \sum k = 1 n ⌊ n k ⌋ ⌊ m k ⌋ \sum p | k μ (k p) [p] = \sum k = 1 n ⌊ n k ⌋ ⌊ m k ⌋ f (k)

$\begin{align} ANS(m,n) &=\sum_p\sum_{i=1}^{\lfloor \frac np\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor \frac mp\rfloor}[(i,j)=1][p]\\ &=\sum_p\sum_{i=1}^{\lfloor \frac np\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor \frac mp\rfloor}\sum_{k=1}\mu(k)[k|i,k|j][p]\\ &=\sum_p\sum_{k=1}^{\lfloor \frac np\rfloor}\sum_{i=1}^{\lfloor \frac n{kp}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor \frac m{kp}\rfloor}\mu(k)[p]\\ &=\sum_{k=1}^n\sum_{p=1}^{\lfloor \frac n{k}\rfloor}{\lfloor \frac n{kp}\rfloor}{\lfloor \frac m{kp}\rfloor}\mu(k)[p]\\ &=\sum_{k=1}^n\sum_{p|k}{\lfloor \frac n{k}\rfloor}{\lfloor \frac m{k}\rfloor}\mu(\frac kp)[p]\\ &=\sum_{k=1}^n{\lfloor \frac n{k}\rfloor}{\lfloor \frac m{k}\rfloor}\sum_{p|k}\mu(\frac kp)[p]\\ &=\sum_{k=1}^n{\lfloor \frac n{k}\rfloor}{\lfloor \frac m{k}\rfloor}f(k) \end{align}$

$f(k)$ 可以打表，分析一下 $f$ 的一些性质：
令 $k=\prod_{i=1}^sp_i^{k_i}$
如 $k_i$ 中一个大于2或者有两个大于1，那么f(k)=0;
理解起来也比较直观。接着就可以递推。

/*************************************************************************
    > File Name: 1192.cpp
    > Author: kelvin
    > Mail: 444051232@qq.com 
    > Created Time: 2016年05月18日 星期三 10时49分45秒
 ************************************************************************/

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define REP(i,a,b)  for(int i=a;i<b;++i)
#define LL      long long
#define mset(a,b)   memset(a,b,sizeof a)
#define scan(n) scanf("%d",&n)
const int maxn = 5000006;
const int mod = 1000000007;

int prime[maxn];
LL f[maxn];
int mu[maxn];
void getP()
{
    mu[1]=1;
    REP(i,2,maxn){
        if(!prime[i]){
            prime[++prime[0]]=i;
            mu[i]=-1;   
            f[i]=1;
        }
        for(int j=1;j<=prime[0] && (LL)prime[j]*i<maxn;++j){
            prime[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j])
            {
                f[i*prime[j]]=mu[i]-f[i];
                mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            }
            else{
                f[i*prime[j]]=mu[i];
                 break;
            }
        }
    }
    REP(i,2,maxn)   f[i]+=f[i-1];
}


LL getans(int n,int m)
{
    LL ret=0;
    for(int d=1,j;d<=n;d=j+1){
        j=min(m/(m/d),n/(n/d));
        ret+=(LL)(n/d)*(m/d)*(f[j]-f[d-1]);
    }
    return ret;
}

int main()
{
    getP();
    int t;
    scan(t);
    int m,n;
    while(t--){
        scanf("%d%d",&m,&n);
        if(n>m) swap(n,m);
        LL ans=getans(n,m);
        cout<<ans<<endl;
    }


    return 0;
}