Dollar Dayz poj 3181（dp 完全背包 或 不超过m的划分数）

Farmer John goes to Dollar Days at The Cow Store and discovers an unlimited number of tools on sale. During his first visit, the tools are selling variously for $1, $2, and $3. Farmer John has exactly $5 to spend. He can buy 5 tools at $1 each or 1 tool at $3 and an additional 1 tool at $2. Of course, there are other combinations for a total of 5 different ways FJ can spend all his money on tools. Here they are: 

        1 @ US$3 + 1 @ US$2

        1 @ US$3 + 2 @ US$1

        1 @ US$2 + 3 @ US$1

        2 @ US$2 + 1 @ US$1

        5 @ US$1

Write a program than will compute the number of ways FJ can spend N dollars (1 <= N <= 1000) at The Cow Store for tools on sale with a cost of $1..$K (1 <= K <= 100).

Input

A single line with two space-separated integers: N and K.

Output

A single line with a single integer that is the number of unique ways FJ can spend his money.

Sample Input

5 3

Sample Output

5

题意：输入：n k，用从1~k之间的整数，相加能得出来n，不同式子表示方法有多少种；

第一种理解方式： 最大不超过k的 n划分数 有多少种；

dp[n][k] 为 最大不超的k的 n的划分数的种数；

dp[n][k] = dp[n][k-1] + dp[n-k][k];

分含k和不含k的式子：

dp[n][k-1] 为不包含的k的划分数；

dp[n-k][k]  为包含k的划分数，让n-k的每个划分数后都加个k；

一定要注意初始化时，dp[0][k] ,不超过k的整数，和为0 都赋予 1；第二个代码有解释：

代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define Max  1010

long long  dp[Max][110],dp1[Max][110];    // dp[i][j]  不超过j 的数组成i的划分数；
//dp 存一个数的后十七位，dp1 存一个数后十七位之前的位数； 
int main()
{
	int i,j;
	int n,k;
	long long inf = 1;
	for(i = 0;i<18;i++)
		inf *= 10;
	while(~scanf("%d%d",&n,&k))
	{
		memset(dp1,0,sizeof(dp1));
		for(i = 0;i<=k;i++)
		{
			dp[0][i] = 1;   // 组成0的划分数永远都为1； 
 		}
		for(i = 1;i<=n;i++)
		{
			for(j = 1;j<=k;j++)
			{
				if(i<j)
				{
					dp[i][j] = dp[i][j-1];
					dp1[i][j] = dp1[i][j-1];
				}
				else
				{
					dp1[i][j] = dp1[i][j-1]+dp1[i-j][j]+(dp[i][j-1]+dp[i-j][j])/inf;
					dp[i][j] = (dp[i][j-1]+dp[i-j][j])%inf;
				}
				 //dp[i][j-1];   不包含 j的划分数 
				 //dp[i-j][j];  包含j 的划分数； 
			}
		}
		
		if(dp1[n][k])
			printf("%lld%017lld\n",dp1[n][k],dp[n][k]);
		else printf("%lld\n",dp[n][k]);
	}
	return 0;
} 

思路二：

完全背包；

把 k种玩具的价格当做是 有多少种物品， n 为 背包容量；

dp[i][j]  前i种玩具能组成 j 的 划分数；

代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
__int64 dp[1110][1110],dp1[1110][1110];  //dp[i][j] 表示为从前i中的玩具中的组成 j 元的方法数；
// dp为后17位，dp1为后17为之前的数； 
int main()
{
	int n,k,i,j;
	while(~scanf("%d%d",&n,&k))
	{
		memset(dp1,0,sizeof(dp1));
		for(i = 0;i<=n;i++)
		{						// 初始化很重要 
			dp[i][0] = 1;     // 前i中玩具组成 0 元的全部为 1；为0元素; 
		}					 // dp[i][j]，当i==j时，dp[i][j] +=dp[i][j-i] 
							//  0 元素被计数时，就变成了0+j，被计数了；
							//所以前i中玩具组成 0 元的全部为 1； 
		__int64 inf = 1;
		for(i = 0;i<18;i++)
		{
			inf *= 10;
		} 
		/*for(i = 1;i<=k;i++)
		{
			for(j = 1;j<=n;j++)
			{
				//dp[i][j] = 0;
				dp[i][j] = dp[i-1][j];
				for(int t = 1;t*i<=j;t++)     //真正的完全背包是这样的，这是耗时的； 
				{
					if(j>=t*i);
						dp[i][j] += dp[i-1][j-t*i];	
				}
			}
		}*/
		for(i = 1;i<=k;i++)
		{
			for(j = 1;j<=n;j++)
			{
				if(j<i)
				{
					dp[i][j] = dp[i-1][j];
					dp1[i][j] = dp1[i-1][j];   // 17之前的数，17位之后的数； 
				}
				else 
				{
					dp1[i][j] = (dp1[i-1][j]+dp1[i][j-i])+(dp[i-1][j]+dp[i][j-i])/inf;
					dp[i][j] = (dp[i-1][j] + dp[i][j-i])%inf;  //dp[i][j-i] 前面所有的情况已经加过了；直接加前面总体的结果就行了；
				}	 	 
			}
		}
		if(dp1[k][n]!=0)
			printf("%I64d%017I64d\n",dp1[k][n],dp[k][n]);
		else printf("%I64d\n",dp[k][n]);
	}
	return 0;
}