21、矩形与数字矩阵相关算法解析

矩形与数字矩阵相关算法解析

在许多实际应用场景中，如计算机图形学、地理信息系统等，经常会遇到与矩形和数字矩阵相关的问题。本文将详细介绍一些经典的算法，包括网格中最大矩形的查找、矩形并集面积的计算、不相交矩形邻接对的确定，以及数字相关的最大公约数、贝祖系数和二项式系数的计算。

1. 网格中最大矩形问题

在一个有树木散布的建筑场地中，我们希望找到一个最大的矩形区域来建造房屋而不砍伐任何树木。这可以抽象为在一个由 $n \times m$ 像素组成的黑白图像中，确定最大的全黑矩形。

算法思路

该算法基于将问题转化为在直方图中查找最大矩形的思想。对于每一行 $i$，我们维护一个数组 $t$，其中 $t[j]$ 表示从 $(i,j)$ 向左连续的黑色像素的最大数量。这样，$t$ 就定义了一个直方图，我们可以在这个直方图中查找最大矩形。

def rectangles_from_grid(P, black=1):
    rows = len(P)
    cols = len(P[0])
    t = [0] * cols
    best = None
    for i in range(rows):
        for j in range(cols):
            if P[i][j] == black:
                t[j] += 1
            else:
                t[j] = 0
        (area, left, height, right) = rectangles_from_histogr