19、集合与几何问题的算法解析

集合与几何问题的算法解析

1. 集合问题概述

集合问题在算法领域中占据着重要地位，许多实际问题都可以转化为集合相关的问题进行求解。这里将介绍几种常见的集合问题及其解决方法，主要运用动态规划这一强大的算法思想。

2. 经典集合问题

2.1 背包问题

• 定义 ：给定 $n$ 个物品，其重量分别为 $p_0, \cdots, p_{n - 1}$，价值分别为 $v_0, \cdots, v_{n - 1}$，以及一个容量为 $C$（整数）的背包。问题是找到一个物品子集，使得子集的总价值最大，且总重量不超过背包容量 $C$。此问题属于 NP 难题。
• 关键观察 ：对于 $i \in {0, \cdots, n - 1}$ 和 $c \in {0, \cdots, C}$，设 $Opt[i][c]$ 为在索引从 0 到 $i$ 的物品中，重量不超过 $c$ 时所能获得的最大价值。当 $i = 0$ 时，若 $p_0 > c$，则 $Opt[0][c] = 0$；否则 $Opt[0][c] = v_0$。对于 $i$ 较大的情况，索引为 $i$ 的物品有两种选择：拿或不拿。拿的情况下，可用容量减少 $p_i$，有如下关系：
  [
  Opt[i][c] = \max
  \begin{cases}
  Opt[i - 1][c - p_i] + v_i & \text{拿物品，前提 } c \geq p_i \
  Opt[i - 1][c] & \text{不拿物品}
  \end{cases}