16、匹配与流算法详解

匹配与流算法详解

1. 稳定婚姻问题 - Gale - Shapley算法

在现实生活中，我们常常会遇到匹配的问题，比如男女之间的婚姻匹配。这里我们要介绍的稳定婚姻问题就是一个经典的匹配问题。

1.1 问题定义

假设有 n 个男人和 n 个女人。每个男人会对女人进行偏好排序，同样，每个女人也会对男人进行偏好排序。婚姻可以看作是男人和女人构成的完全二分图中的一个完美匹配。如果不存在一个男人 i 和一个女人 j ，使得男人 i 更喜欢女人 j 而不是他当前的妻子，同时女人 j 更喜欢男人 i 而不是她当前的丈夫，那么这样的婚姻就是稳定的。我们的目标是根据这 2n 个偏好列表计算出一个稳定的婚姻匹配，而且这个解不一定是唯一的。

1.2 算法复杂度

Gale - Shapley算法（1962年提出）可以在 $O(n^2)$ 的时间复杂度内解决这个问题。

1.3 算法步骤

该算法从没有已婚夫妇开始。只要还有单身男人，算法就会选择一个单身汉 i ，并在尚未考虑过的女人中选择他最喜欢的女人 j 。然后尝试让 i 和 j 结婚：
- 如果女人 j 仍然单身，那么他们就结婚。