12、图论中的循环与最短路径问题解析

图论中的循环与最短路径问题解析

1. 图中的循环问题

在图论中，循环问题是一个重要的研究领域，下面将介绍几种不同类型的循环问题及其解决方案。

1.1 欧拉路径（Eulerian Path）

如果一个图是连通的，并且除了两个顶点 (u) 和 (v) 的度数为奇数外，其余所有顶点的度数均为偶数，那么存在一条路径，该路径恰好经过每条边一次，且这条路径从 (u) 开始，到 (v) 结束。可以使用与寻找欧拉回路相同的算法来找到这条路径，只需从 (u) 开始构建路径即可。为了理解其原理，可以添加一条虚拟边 ((u, v))，然后寻找欧拉回路。

1.2 中国邮递员问题（The Chinese Postman Problem）

• 应用场景 ：1962 年，数学家管梅谷在文化大革命期间担任邮递员，他提出了在图中寻找一条经过每条边至少一次的最短循环的问题，这正是邮递员在城市各个街区投递邮件时需要解决的问题。
• 问题定义 ：给定一个连通的无向图 (G(V, E))，目标是在图中找到一个经过每条边至少一次的循环。当所有顶点的度数均为偶数时，该问题就归结为确定一个欧拉回路。
• 复杂度 ：该算法的时间复杂度为 (O(n^3))，其中 (n) 是图的节点数。
• 算法原理 ：该算法的原理是处理多重图（即同一对顶点之间可能存在多条边的图）。其思路是添加边以使图成为欧拉图，然后生成一个欧拉回路。添加的边必须有助于连接奇数度的顶点，为了尽量减少