8、序列与数组相关算法解析

序列与数组相关算法解析

1. 序列相关问题

1.1 非递减子序列

在寻找子序列时，如果不要求严格递增，仅需非递减，那么查找方式会有所不同。原本是寻找满足 $b[k - 1] < x[i] \leq b[k]$ 的 $k$，现在则要找满足 $b[k - 1] \leq x[i] < b[k]$ 的 $k$，在 Python 中可以使用 bisect_right 函数来实现。

1.2 最长公共递增子序列

给定两个序列 $x$ 和 $y$，要找出它们的最长公共递增子序列。可以先对 $y$ 排序得到序列 $z$，然后寻找 $x$、$y$、$z$ 的公共子序列，这种方法的时间复杂度为立方级别。不过，2005 年 Yang 等人发表了时间复杂度为 $O(|x| \cdot |y|)$ 的更好算法，而这个复杂度在 2003 年的 ACM/ICPC/NEERC 竞赛中就已用于解决相关问题。

1.3 简单最长递增子序列问题

有一个名为 [spoj:ELIS] 的问题，涉及简单最长递增子序列的求解。

2. 两人游戏的获胜策略

2.1 游戏定义

有一个由两个玩家参与的游戏，游戏基于一个正整数栈。玩家 0 先开始，如果栈为空，玩家 0 输；若栈顶元素为整数 $x$，玩家 0 有两个选择：弹出一个元素或者弹出 $x$ 次（仅当栈中至少有 $x$ 个元素时可选择后者），然后轮到玩家 1 操作，以此类推。给定一个包含 $n$ 个整数的栈 $P$，问题是玩家 0 是否有获胜策略，即无论玩家 1 如何选择，玩家 0 都能获胜。