7、字符串处理与序列问题的算法解析

字符串处理与序列问题的算法解析

在计算机科学领域，字符串处理和序列问题是非常重要的研究方向，涉及到诸多实际应用场景。本文将详细介绍几种常见的字符串和序列问题的算法，包括最长回文子串、最短路径、编辑距离、最长公共子序列以及最长递增子序列等问题的求解方法。

1. 最长回文子串 - Manacher算法

回文串是指一个字符串从左到右和从右到左读都是相同的。最长回文子串问题就是要找出给定字符串中最长的回文子串。

1.1 问题定义

输入一个字符串，输出该字符串中的最长回文子串。例如，输入 “babcbabcbaccba”，输出 “abcbabcba”。

1.2 复杂度分析

• 朴素算法：时间复杂度为 $O(n^2)$。
• 后缀数组算法：时间复杂度为 $O(n log n)$。
• Manacher算法：时间复杂度为 $O(n)$。

1.3 Manacher算法步骤

• 字符串转换 ：在输入字符串的每个字符周围插入分隔符 # ，并在字符串两端添加哨兵 ^ 和 $ 。例如，将 “abc” 转换为 “^#a#b#c#$”。这样可以统一处理奇数和偶数长度的回文串。
• 初始化数组 ：创建一个数组 p ，用于记录以每个位置为中心的最长回文串的半径。
• 计算半径 <