数据结构与算法-树

一、基本概念

树(tree)是n(n>=0)个结点的有限集合它：

       

• 或者是一棵空树（n=0），空树中不包含任何结点。
• 或者是一颗非空树，此时有且仅有一个特定的称为根(root)的节点。
• 当 n>1 时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、...、Tm，其中每一个本身又是一棵树，并且称为根的子树(sub tree)。
• 如图：a是一颗空树，b是只有一个根结点的树，c是一颗有10个结点的树，其中A是根结点，其余的结点分成3个不相交的结合：T1={B,E,F}、T2={C,G}、T3={D,H,I,J}，每个结合都是一棵树，且都是根的子树。
• 生活案例：树、单位组织架构、族谱、文件系统

 结点的度和树的度

• 结点拥有的子树的数目称为结点的度(Degree)。
• 度为0的结点称为叶子(leaf)或终端结点。
• 度不为0的结点称为非终端结点或分支结点，除根结点之外的分支结点也称为内部结点。
• 树内各结点的度的最大值称为树的度。

         

结点的层次和树的深度

• 结点的层次(level)从根开始定义，层次数为1的结点是根结点，其子树的根的层次为2。
• 树种结点的最大层次数称为树的深度(Depth)或高度

         

父亲、儿子、兄弟

• 父亲(parent)：一个结点的直接前驱结点。
• 儿子(child)：一个结点的直接后继结点。
• 兄弟(sibling)：同一个父亲结点的其它结点。
• 结点A是结点B、C、D的父亲，结点B、C、D是结点A的孩子，由于结点H、I、J有同一个父节点D，因此他们互为兄弟。

祖先、子孙、堂兄弟

• 将父子关系进行扩展就可以得到祖先、子孙、堂兄弟等关系。
• 祖先：从根结点到该结点路劲上的所有节点。
• 子孙：以某结点为根的树中的任一结点。
• 堂兄弟：父亲在同一层次的节点。

有序树、m叉树、森林

• 有序树：树中结点的各子树看成从左至右是有次序的。
• 无序树：不考虑子树的顺序。
• 对于有序树，我们可以明确的定义每个结点的第一个孩子、第二个孩子等、直到最后一个孩子。
• 若不特别指明，一般讨论的树都是有序树。

         

• 树中所有结点最大度数为m的有序树称为m叉树。
• 森林(forest)是m(m>=0)棵互不相交的树的集合，对树中每个结点而言，其子树的集合即为森林。
• 树和森林的的概念相近。删去一棵树的根就得到一个森林；反之加上一个结点作为根，森林就变为一棵树。