模糊C均值聚类算法（FCM）

一、算法描述

模糊聚类算法是一种基于函数最优方法的聚类算法，使用微积分计算技术求最优代价函数．在基于概率算法的聚类方法中将使用概率密度函数，为此要假定合适的模型．模糊聚类算法中向量可以同时属于多个聚类，从而摆脱上述问题．在模糊聚类算法中，定义了向量与聚类之间的近邻函数，并且聚类中向量的隶属度由隶属函数集合提供．对模糊方法而言，在不同聚类中的向量隶属函数值是相互关联的．硬聚类可以看成是模糊聚类方法的一个特例。

设被分类的对象的集合为：X={ 1， 2，⋯， XN}，其中每一个对象 有rt个特性指标，设为= ( 1 ， 2，⋯，Xnk)T，如果要把X分成c类，则它的每一个分类结果都对应一个 c×N阶的Boolean矩阵U=[M ]Ⅳ，对应的模糊c划分空间为： 

∑M =1，v k；0<∑M ，v i}在此空间上，

模糊c均值算法如下： 

Repeat for 1=1，2⋯⋯ 

Step 1：compute the cluster prototypes(means)

Step 2：compute the distance： 

Step 3：Update the partition matrix： 

二、算法代码

function [center, U, obj_fcn] = FCMClust(data, cluster_n,options) 

% FCMClust.m  采用模糊C均值对数据集data聚为cluster_n类  

% 用法： 

%  1.  [center,U,obj_fcn] =FCMClust(Data,N_cluster,options); 

%  2.  [center,U,obj_fcn] = FCMClust(Data,N_cluster); 

%输入： 

%   data  ---- nxm矩阵,表示n个样本,每个样本具有m的维特征值

%   N_cluster   ----标量,表示聚合中心数目,即类别数 

%   options    ---- 4x1矩阵，其中 

%      options(1): 隶属度矩阵U的指数 (缺省值: 2.0) 

%      options(2):  最大迭代次数 

%      options(3):  隶属度最小变化量,迭代终止条件(缺省值: 1e-5) 

%      options(4): 每次迭代是否输出信息标志 (缺省值: 1) 

%输出： 

%     center     ---- 聚类中心 

%     U            ---- 隶属度矩阵

%     obj_fcn    ---- 目标函数值 

%   Example: 

%      data = rand(100,2); 

%      [center,U,obj_fcn] = FCMClust(data,2); 

%      plot(data(:,1),data(:,2),'o'); 

%      hold on; 

%      maxU = max(U); 

%      index1 = find(U(1,:) ==maxU); 

%      index2 = find(U(2,:) == maxU); 

%      line(data(index1,1),data(index1,2),'marker','*','color','g'); 

%      line(data(index2,1),data(index2,2),'marker','*','color','r'); 

%      plot([center([1 2],1)],[center([1 2],2)],'*','color','k') 

%      hold off; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  

if nargin~= 2 & nargin ~= 3,   %判断输入参数个数只能是2个或3个    

    error('Too many or too few input arguments!');

end      

data_n= size(data, 1); % 求出data的第一维(rows)数,即样本个数 

in_n = size(data, 2);  % 求出data的第二维(columns)数，即特征值长度 

% 默认操作参数

default_options = [2;  % 隶属度矩阵U的指数    100;  % 最大迭代次数     1e-5; % 隶属度最小变化量,迭代终止条件   1];  % 每次迭代是否输出信息标志       

if nargin== 2,    

    options =default_options;  

else      

    %分析有options做参数时候的情况   

    % 如果输入参数个数是二那么就调用默认的option;    

    if length(options) < 4,%如果用户给的opition数少于4个那么其他用默认值;        

        tmp = default_options;      

tmp(1:length(options)) = options;       

options = tmp;    

    end    %返回options中是数的值为0(如NaN),不是数时为1    

    nan_index = find(isnan(options)==1);    %将denfault_options中对应位置的参数赋值给options中不是数的位置.    

    options(nan_index) =default_options(nan_index);   

    if options(1) <= 1, %如果模糊矩阵的指数小于等于1        

error('Theexponent should be greater than 1!');    

    end

end

%将options 中的分量分别赋值给四个变量; 

expo =options(1);         % 隶属度矩阵U的指数

max_iter = options(2);     % 最大迭代次数  

min_impro =options(3);     % 隶属度最小变化量,迭代终止条件

display = options(4);      % 每次迭代是否输出信息标志       

obj_fcn =zeros(max_iter, 1);   % 初始化输出参数obj_fcn      

U =initfcm(cluster_n, data_n);     %初始化模糊分配矩阵,使U满足列上相加为1, 

% Main loop  主要循环 

for i =1:max_iter,    

    %在第k步循环中改变聚类中心ceneter,和分配函数U的隶属度值;    

    [U, center, obj_fcn(i)] = stepfcm(data, U,cluster_n, expo);     

    if display,        

fprintf('FCM:Iteration count =%d, obj. fcn = %f\n', i, obj_fcn(i));    

    end    %终止条件判别     

    if i > 1,       

if abs(obj_fcn(i) - obj_fcn(i-1)) <min_impro,            

    break;        

end,    

    end

end     

iter_n = i; % 实际迭代次数 

obj_fcn(iter_n+1:max_iter) = [];     

%%%%%%%%%%%%%%%%%%

子函数1

function U = initfcm(cluster_n, data_n) 

% 初始化fcm的隶属度函数矩阵 

%输入: 

%   cluster_n   ---- 聚类中心个数 

%   data_n     ---- 样本点数 

% 输出： 

%   U         ---- 初始化的隶属度矩阵 

U =rand(cluster_n, data_n); 

col_sum = sum(U); 

U =U./col_sum(ones(cluster_n, 1), :);

%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% 子函数2

function [U_new, center, obj_fcn] = stepfcm(data, U, cluster_n,expo) 

% 模糊C均值聚类时迭代的一步 

% 输入： 

%   data      ---- nxm矩阵,表示n个样本,每个样本具有m的维特征值 

%   U          ---- 隶属度矩阵

%   cluster_n   ----标量,表示聚合中心数目,即类别数 

%   expo       ----隶属度矩阵U的指数                    

% 输出： 

%   U_new       ----迭代计算出的新的隶属度矩阵 

%   center     ---- 迭代计算出的新的聚类中心 

%  obj_fcn    ---- 目标函数值 

mf = U.^expo;      % 隶属度矩阵进行指数运算结果 

center =mf*data./((ones(size(data, 2), 1)*sum(mf'))'); % 新聚类中心(5.4)式 

dist =distfcm(center, data);      % 计算距离矩阵 

obj_fcn = sum(sum((dist.^2).*mf)); % 计算目标函数值 (5.1)式 

tmp = dist.^(-2/(expo-1));     

U_new =tmp./(ones(cluster_n, 1)*sum(tmp));  % 计算新的隶属度矩阵(5.3)式

%%%%%%%%%%%%%%%%%

% 子函数3

function out = distfcm(center, data) 

% 计算样本点距离聚类中心的距离 

% 输入： 

%  center    ---- 聚类中心 

%   data      ---- 样本点 

% 输出： 

%  out       ---- 距离 

out =zeros(size(center, 1), size(data, 1)); 

for k = 1:size(center, 1), 

    %对每一个聚类中心     

    %每一次循环求得所有样本点到一个聚类中心的距离     

    out(k,:) = sqrt(sum(((data-ones(size(data,1),1)*center(k,:)).^2)',1));

end