计数问题

计数问题是在离散数学以及算法设计中非常容易碰到的一类问题。

计数问题都可以归结成从集合中取元素的问题。
难点主要是
1.每次取完一个元素后，是否会使集合发生变化(例如集合元素减少)，此时之后再次取元素就会受到影响，如果不考虑清楚这点很容易出错。
有些问题是从不同的集合中取元素，有些问题是从单个集合中取元素(此时基本上都会使集合发生改变)
2.如何把一个现实问题考虑成从一个集合中取元素的计数问题？

乘积法则

乘积法则主要应用于多次从集合中取元素的问题。

这个例子非常好转换，集合就是所有的办公室，而每次从中取一个办公室，取两次，但是每次取完后集合元素会变少，所以一共是12*11种办法

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这个问题需要看成从1,0的集合中取一个数，每次取完后对集合本身无影响，取7次，所以一共是2^7=128种

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此类问题可以转换为对集合的每个数，他都可能出现或不出现，所以等于从一个{出现,不出现}的集合中选一个，因为对于集合中的每个数都要选择，所以任意集合的子集数为2^n，n为集合的元素

求和法则

求和法则和乘积法则的区别是，求和法则只有一次选择，但选择对象可能是多个集合的并集。

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对于用自然语言表示的问题，需要仔细辨认，不然很容易推断错误

该问题等于从两个集合的并集中选择一次，所以是83+37种选择

例子

这些法则虽然看上去简单，定义也非常清晰，但是如何套用到现实问题上，则是一大难点，如果理解稍有偏差，就很容易会掉进沟里
一般的现实问题都是多种求和法则的嵌套运用(就和函数组合一样)

该例子比较简单，还是考虑上面的两个难点，如何对现实问题建模和考虑每次取元素对之后操作的影响。
解法1:分成两种情况考虑 单字符和双字符
单字符直接从26个元素集合中取一次，26次
双字符从26个元素集合取一次，36个元素集合取一次，因为第一次取没有对后面有影响，所以是26*36
所以结果是26+26*36-5
解法2:将字符为空也放入第二个集合的元素集，注意第一个字符不能为空
所以是26*37-5

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可以容易看出，该结果由三部分相加。
三部分的计算都类似，不过要注意一个问题，例如6个字符构成的密码，和之前的选办公室问题有很大区别。密码是有序的序列，而选两个办公室是任意顺序的。即有序对(办公室1,办公室2)和(办公室2,办公室1)等价
所以类似密码这种有序的东西，不能直接从六个集合中选。因为例如(数字1，数字2),(数字2,数字1)不等价。
可以用数据结构类比，如果要选出的集合是一个set，即无关顺序的，例如选两个办公室。如果要选出的集合是一个list，例如密码序列，则和选择顺序有关。
如果算10*36^5次，就错了，因为数字可以出现在任意位置。
所以这里用减法原则比较方便

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