45、平面三树的通用点集

平面三树的通用点集

在图论领域，平面三树的嵌入问题一直是一个重要的研究方向。本文将详细介绍一种将平面三树嵌入到特定点集的算法，探讨相关的观察结论、点集定义、嵌入算法以及不变量的维护。

1. 相关观察与点集定义

• 观察 2 ：设 $(a_1, b_1), (a_2, b_2), (a_3, b_3) \in A_n$，且 $(a_2, b_2)$ 位于由 $(a_1, b_1)$ 和 $(a_3, b_3)$ 所张成的轴对齐矩形内部（即 $a_1 < a_2 < a_3$ 且 $b_1 < b_2 < b_3$ 或者 $b_3 < b_2 < b_1$），那么 $\tau(a_2, b_2)$ 位于 $\tau(a_1, b_1)$ 和 $\tau(a_3, b_3)$ 所连线段的下方。
• 通用点集 $S_n$ 的定义 ：令 $S_n = \tau(B_n)$，直观上，$S_n$ 是一个 $14n×14n$ 的稀疏网格，每个“洞”内都有对角线，并且通过 $\tau$ 进行垂直拉伸。为了便于说明，我们通常展示“未拉伸”的点集 $B_n = \tau^{-1}(S_n)$。

2. 网格嵌入算法的应用

de Fraysseix 等人的网格嵌入算法可以将每个 $n$ 顶点的平面图嵌入到整数格的 $(2n - 4) × (n - 2)$ 部分。该算法同样适用于拉伸网格。具体来说，假设 $G$ 是一个具有 $n$ 个顶点的平面图，$u$、$v$ 和 $z$ 是其外表面的顶点，$X, Y \subset N$ 是两