12、傅里叶级数：原理、性质与应用

傅里叶级数：原理、性质与应用

1. 三角傅里叶级数与指数傅里叶级数

在信号处理领域，傅里叶级数是一种强大的工具，它能将周期信号分解为一系列正弦和余弦函数的组合。对于给定的信号，我们可以通过求解其三角傅里叶级数来进行分析。例如，对于图中所示的信号，其三角傅里叶级数为：
[z(t)=0.5 + \sum_{n = 1}^{\infty} \left{ \frac{1 - (-1)^n}{n\pi} \cos(n\pi t) + \frac{(-1)^n - 1}{n\pi} \sin(n\pi t) \right}]

除了三角傅里叶级数，指数傅里叶级数也是一种常用的表示方法。正弦和余弦函数可以用复指数来表示，这使得我们能够用复指数来表示傅里叶级数，在很多方面提供了更简单的表示形式。

周期信号(x(t))的傅里叶级数可以用复指数形式表示为：
[\sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n e^{j n \omega_0 t}]
其中，(\omega_0 = \frac{2\pi}{T})是基频，系数(c_n)由下式给出：
[c_n = \frac{1}{T} \int_{T} x(t) e^{-j n \omega_0 t} dt]

通过代入欧拉恒等式：
[\cos(n\omega_0 t) = \frac{1}{2} \left( e^{j n \omega_0 t} + e^{-j n \omega_0 t} \right)]
[\sin(n\omega_0 t) = \frac{1}{2j} \left( e^{j n \omega_0 t} - e^{-j n \omega_0 t