40、随机数据分区：编码、访问、隐私与多分区策略

随机数据分区：编码、访问、隐私与多分区策略

1. 分区长度期望分析

在随机数据分区中，对于输入长度为 $n$ 位的序列 $B$，会将其划分为左分区 $LB$ 和右分区 $RB$。通过期望的线性性质，可得到左分区长度的期望 $E(|LB|)$ 的相关推导：
- 首先，$E(|LB|) = E(\sum_{i = 1}^{2d} f_i \cdot X_i) = \sum_{i = 1}^{2d} f_i \cdot E(X_i)$。
- 接着，根据引理 2 代入 $E(X_i)$ 的值，可得 $\sum_{i = 1}^{2d} f_i \cdot E(X_i) \leq \sum_{i = 1}^{2d} f_i \cdot (2q - \frac{q}{2^{d - 1}})$。
- 由于定义 $\sum_{i = 1}^{2d} f_i = \frac{n}{d}$，所以 $\sum_{i = 1}^{2d} f_i \cdot (2q - \frac{q}{2^{d - 1}}) \leq (2q - \frac{q}{2^{d - 1}}) \cdot \frac{n}{d}$。
- 进一步化简得到 $E(|LB|) \leq n \cdot (\frac{2q}{d} - \frac{q}{d \cdot 2^{d - 1}})$。
- 又因为 $|LB| + |RB| = n$，所以 $E(|RB|) = n - E(|LB|) > n \cdot (1 - \frac{2q}{d} + \frac{q}{d \cdot 2^{d - 1}})$。

当 $d$ 值较大时，$\frac{q}{d \cdot 2^{d - 1}}$ 项