22、梳状凸和毛虫凸二部图的列表3着色问题研究

梳状凸和毛虫凸二部图的列表3着色问题研究

1. 引言

在图论中，Li 3 - col问题（列表3着色问题）的计算复杂度一直是研究的热点。对于某些图类，该问题的复杂度尚未明确。本文聚焦于毛虫凸二部图，证明了Li 3 - col问题在这类图中可以在多项式时间内解决。同时，还给出了一种用于识别毛虫凸二部图的新算法。

2. 毛虫凸二部图的列表3着色算法

设毛虫凸二部图 $G = (X ∪ Y, E)$ ，并给定一个3 - 列表分配 $L$ 。假设存在一个毛虫树 $T = (X, F)$ ，使得对于每个 $y ∈ Y$ ，$N_G(y)$ 在 $T$ 中诱导出一个子树。若输入中未提供毛虫树，可使用后续介绍的识别算法在多项式时间内计算得到。

2.1 算法思路

算法的核心思想是定义合适的子问题，这些子问题能够在多项式时间内求解，然后将子问题的解组合起来得到整体的着色方案。具体来说，子问题考虑了主干的不同区间，在一个合适的列表3着色中，假设这些区间内的所有主干顶点都被分配相同的颜色。

子问题 $SP(i, j, c_1, c_2, c_3)$ 通过两个值 $i, j$ （$1 ≤ i ≤ j ≤ n$）和三种颜色 $c_1, c_2, c_3$ （$c_1 ≠ c_2$ 且 $c_2 ≠ c_3$ ，$c_i ∈ [3]$ ，$i = 1, 2, 3$）来指定。因此，共有 $O(n^2)$ 个子问题。

子问题 $S = SP(i, j, c_1, c_2, c_3)$ 关注由 $B_{i - 1, j + 1} ∪ L_{i, j} ∪ {y ∈ Y | N(y) ∩ (B_{i, j} ∪ L_{i, j}