59、有向网络与无线广播网络中的近似算法研究

有向网络与无线广播网络中的近似算法研究

在网络通信领域，广播和多播问题一直是研究的重点。有向网络中的广播和多播问题，以及无线广播网络中的容错广播问题，都具有重要的理论和实际意义。本文将深入探讨这些问题，并介绍相关的近似算法和协议。

有向网络中的广播和多播

在有向网络中，一个自然的问题是能否将某些定理扩展到有向网络。研究表明，除非所有NP问题都能在略大于多项式的时间内解决，否则这种扩展是不可行的。这一结论的证明基于最小集合覆盖问题（MSC）的不可近似性阈值。

• 最小集合覆盖问题（MSC） ：给定一个集合S的子集集合C，寻找最小的集合Cmin ⊆ C，使得S中的每个元素至少属于Cmin中的一个集合。
• 定理3 ：除非NP ⊂ Dtime(nlog log n)，否则有向图中最小时间多播问题的最优解在多项式时间内不能以(1 - ϵ) ln |D|的比例近似，其中ϵ > 0。

证明过程如下：
首先，从MSC问题的一个实例(S, C)构造一个有向图G。G由k个“分支”连接到一个中心节点v组成。每个分支B是一个具有O(|S| · |C|)个顶点的图的副本。通过设置源节点为v，目标集D为k个S副本中的k|S|个节点，得到多播实例。

已知mv(G, D) ≤ k|Cmin| + ⌈log2 |S|⌉。对于一个ρ - 近似算法A，它返回一个多播协议M，根据单端口约束和相关不等式推导，可得|C∗| / |Cmin| ≤ ρ(1 + ⌈log2 |S|⌉ / k)。通过选择合适的k值，结合Feige引理，最终完成证明。 </