55、多数字商品的竞争性拍卖

多数字商品的竞争性拍卖

在拍卖领域，为了实现高效、公平且具有竞争力的拍卖机制，学者们进行了诸多研究。本文将介绍几种不同类型的拍卖方式，包括固定价格拍卖、随机抽样拍卖、双价格拍卖和确定性拍卖，并分析它们的特点和性能。

固定价格拍卖与最优价格

• 固定价格拍卖规则 ：在固定价格拍卖中，投标人提交投标价，卖方提供销售价格 (r_j)（(1 ≤ j ≤ m)）。定义 (c_{ij} = a_{ij} - r_j)，拍卖将每个投标人 (i) 分配到 (c_{ij}) 最大的物品 (j) 上（前提是最大值非负），否则不分配物品。若出现平局，则选择索引最大的物品。若投标人 (i) 获得物品 (j)，则相应的销售价格为 (r_j)。
• 拍卖的真实性 ：如果销售价格的设定与输入投标无关，那么固定价格拍卖是真实的。这是因为当投标人 (i) 获得物品 (j) 时，其支付的价格至少为 (r_j)，利润至多为 (a_{ij} - r_j)，而其最优利润为 (\max_j(u_{ij} - r_j))。当投标人投标 (a_{ij} = u_{ij}) 时，恰好能获得该最优利润。
• 最优定价问题 ：给定一组投标，找到一组价格，使得固定价格拍卖带来最高的收入。解决该问题并使用所得价格的拍卖被称为最优非真实单一价格拍卖，其收入记为 (F)。这个拍卖是非真实的，因为价格依赖于输入投标。在单一物品拍卖的情况下，最优单一价格拍卖的收入至少与任何合理的（可能是多价格的）真实拍卖的预期收入一样大。
• 数学规划表述 ：最