44、最小凸覆盖与分布式边着色算法解析

最小凸覆盖与分布式边着色算法解析

1. 最小凸覆盖问题概述

最小凸覆盖问题旨在找到最少数量的凸多边形来覆盖给定的多边形。对于该问题，我们首先从一个可能非凸的多边形 (C’) 开始，通过对其非 (T) - 顶点进行处理，得到多边形 (C’‘)。

1.1 处理 (C’‘) 中的 (T) - 顶点

• 奇数个 (T) - 顶点 ：若 (C’‘) 包含奇数个 (T) - 顶点 (f)，我们定义三个凸多边形 (C’‘ 1)、(C’‘_2) 和 (C’‘_3) 来覆盖 (C’‘)。其中，(C’‘_1) 由顶点 (t_i)、(n {t_k}^{i,j}) 和 (t_{i + 1})（(j,k) 任意，(i) 为奇数且 (i \neq f)）定义；(C’‘ 2) 由顶点 (t_i)、(n {t_k}^{i,j}) 和 (t_{i + 1})（(j,k) 任意，(i) 为偶数）定义；(C’‘ 3) 由顶点 (t_f)、(n {t_k}^{f,j}) 和 (t_1)（(j,k) 任意）定义。
• 偶数个 (T) - 顶点 ：若 (C’‘) 包含偶数个 (T) - 顶点，我们使用相同的概念，用两个凸多边形来覆盖 (C’‘)。

1.2 寻找最大凸多边形

假设多边形 (T) 中的每个二阶基本三角形被赋予权重值 0 或 1。我们的目标是找到一个凸多边形 (M)，它包含最多数量的权重为 1 的二阶基本三角形，且其顶点仅来自 (V_1^T)，这样的多边形被称为最大凸多边形。