39、位探针模型中的成员问题与有损字典

位探针模型中的成员问题与有损字典

1. 自适应与非自适应方案

1.1 自适应方案

存在明确的自适应 $(n, m, s, t)$ - 方案，其中：
- 当 $t = ⌈\lg k⌉ + ⌈\frac{1}{k} \lg n⌉ + 1$ 且 $s = (k + 1)m^{\frac{k}{k + 1}} (n(⌈\lg k⌉ + \lceil\lg n^{\frac{1}{k}}\rceil))^{\frac{1}{k + 1}}$（$k \geq 1$）时，为一种方案。
- 令 $k = \lg n$，则有 $t = ⌈\lg \lg n⌉ + 2$ 且当 $n$ 为 $O(m^{\frac{1}{\lg \lg m}})$ 时，$s = o(m)$。

在上述自适应方案中，首先从结构中读取 $⌈\lg k⌉ + ⌈\frac{1}{k} \lg n⌉$ 位，然后根据这些位，再查看下一级的一位来确定查询元素是否存在。

1.2 非自适应方案

将自适应方案转换为非自适应方案的方法是：读取 $⌈\lg k⌉ + ⌈\frac{1}{k} \lg n⌉$ 位以及下一级所有可能的 $k\lceil n^{\frac{1}{k}}\rceil$ 位，然后相应地确定成员关系。此时，非自适应 $(n, m, s, t)$ - 方案的参数为 $t = ⌈\lg k⌉ + ⌈\frac{1}{k} \lg n⌉ + k\lceil n^{\frac{1}{k}}\rceil$ 且 $s = tm^{\frac{k}{k + 1}}$。令 $k = ⌈\lg n⌉$，可得到一个非自适应方案，其中 $t = O(\lg n)$ 且 $s