你好,我是B树

一、什么是B树?

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B树是一棵是具备以下特点的有根树

1、节点属性

a)x.n:为节点中存储的关键字个数

b)x.key:为节点中存储的关键字。x.key1、x.key2 ... x.keyx.n 非降序顺序排列,满足 x.key<= x.key2 ... <= x.keyx.n。

c)x.leaf:为当前节点是否为叶子节点(true | false)

d)x.c:为指向子节点的指针,内部节点包含指针个数为 x.n + 1,叶子节点没有子节点,所以没有此属性。

2、分割

关键字 x.key 对存储在子树中的关键字进行分割。某个子节点的所有关键字值范围总是在节点 x 的某两个关键字之间。这个值可能是任何可排序的表示,比如:

3、深度

每个叶子节点具有相同的深度,即树的高度(由根节点到叶子节点的路径长度)。

4、度数

每个节点包含的关键字个数有上下界限制。基本表示单位为B树的最小度数 t(满足 t >= 2):

a)除了根节点外(空树没有关键字,非空树根节点至少包含一个关键字),每个节点至少有 t - 1 个关键字,进而可以推导,每个内部节点至少有 t 个子节点【1.d】。

b)每个节点至多包含 2t - 1 个关键字(此时称之为【满】 状态),进而可以推导,每个内部节点至多有 2t 个子节点【1.d】。

二、B数的高度

首先树的根节点至少包含 1 个关键字,其它节点至少包含 t - 1 个关键字,至少有 t 个子节点【一.4.a】。

我们知道 B 树的度数 t >= 2,所以:

深度为 1 的位置上至少有 2 个节点。

深度为 2 的位置至少有 2 * t 个 节点。

深度为 3 的位置至少有 2 * t * t 个 节点。

... ...

深度为 h 的位置至少有 2 * t * ... * t 个 节点。

图示:

【1】所以所有非根节点个数至少为:2 + 2 * t +  2 * t * t  + 2 * t * ... * t = 2 * t0 + 2 * t1+  2 * t2  + 2 * th-1,标识为 sum(node)

【2】相应的非根节点关键字个数至少为:(t - 1) * sum(node)

【3】那么总的关键字个数至少为: 1 + (t - 1) * sum(node)

【4】我们用 n 表示关键字个数,所以存在  n >= 1 + (t - 1) * sum(node),代入【1】中的求和,最终经过一系列的变换,可以得出B树的高度满足:h <= logt(n+1)/2

三、B树的搜索

假定我们要查找的关键字为 k,入口节点 x:

a)需要找到 k 在 x 所有关键字中的位置,临界关键字 keyi 满足 k <= keyi

b)如果存在 k == keyi 那么查找结束,否则继续。

c)如果 x 为叶子节点,则查找结束,否则继续

d)由 keyi 临界关键字,我们可以得到相应指向子节点的指针 ci

然后,继续由 ci 指向的子节点作为入口节点,继续上述过程。

四、B树的插入

B树插入新关键字后,必须仍然是一颗合法的B树。

由【一.4.b】我们直到 B 树节点存在一种状态【满】,即当前节点关键字个数为 2t -1。【满】状态的节点插入新节点必须经过特定的前置处理:分裂

所谓分裂,即将节点由中间关键字作为分割点,分割为两个节点,每个节点包含 t - 1 个关键字,中间节点 x.kt 则上升到父节点中,作为两棵子树的划分点,参见【一.2】。

此处需要注意的是,如果父节点同样为【满】节点,那么在分割点上升之前,同样需要对父节点执行【分裂】操作。

满节点的分裂行为会沿着树向上传播直到不再需要分裂为止

上面我们描述的过程,是一个自下而上的【满】状态分裂传播行为。

我们知道,要实现节点的插入,首先需要经过一个B树的搜索查找的过程,搜索过程自上而下

显然,两个过程,有些重复,我们需要的是单向查找插入。

鉴于此,在执行查找的过程中,遇到路径上的满节点,则执行分裂操作,直到找到位置插入节点,这样就避免了自下而上的【分裂】传播行为。

五、B树的删除

B树删除特定关键字后,必须仍然是一颗合法的B树。

B树的插入是一个对节点最大关键字数量的约束满足过程,相应的,B树的删除是一个对节点最小关键字数量的约束满足过程

保障沿途节点关键字数量至少为度数 t,一遍自根而下执行删除。

 

<think>好的,用户现在想用C语言实现最小生成算法来计算连通所有村庄的最低成本,输出最低成本或者-1。我之前已经用Python展示了Kruskal和Prim算法的实现,现在需要转换成C语言。首先,我需要确定用户的具体需求。 用户提到的输入格式和之前的示例类似,村落数N和道路数M,然后是M条道路的信息,村庄编号从1开始。输出最低成本或-1。需要注意的是,C语言中数组索引通常从0开始,但用户输入的是1到N的编号,所以在处理时需要调整,可能将村庄编号减1以便于数组操作。 接下来,用户可能对选择Kruskal还是Prim算法有疑问。根据引用[4]中的讨论,Prim算法在C语言中的实现可能需要考虑时间效率,尤其是当N较大时(比如1000)。Kruskal算法的时间复杂度主要取决于排序和并查集操作,适合边数较多的情况,但用户输入的M上限是3000,对于N=1000来说,M=3000属于稀疏图,可能Kruskal更合适。不过两种方法都需要考虑实现细节。 用户可能需要代码的结构,包括如何读取输入,处理数据,以及算法的具体实现。需要特别注意输入可能无法连通的情况,这时候要输出-1。所以在算法结束后要检查生成的边数是否达到N-1,否则返回-1。 对于Kruskal算法,需要实现并查集结构。在C语言中,可以用数组来表示父节点,并实现路径压缩和按秩合并(虽然示例中的Python代码没有按秩合并,但为了效率可能需要添加)。然后对边按权重排序,这里可以使用C标准库的qsort函数。 对于Prim算法,需要优先队列(最小堆)来高效获取最小边。C标准库没有内置的优先队列,需要手动实现,或者使用数组每次查找最小值,但这样时间复杂度会较高,可能不适用于较大的N。因此,如果用户选择Prim算法,可能需要更优化的数据结构,比如斐波那契堆,但在C中实现复杂,所以可能使用邻接矩阵或邻接表配合数组处理。 考虑到用户可能对两种算法都感兴趣,但问题要求选择一种实现,可能需要推荐一种更合适的。根据引用[2]中的PTA题目,两种算法都有C语言实现,但Kruskal可能更容易,因为Prim在C中实现优先队列较麻烦,而Kruskal只需排序和并查集。 接下来,处理输入的问题。用户输入的村庄编号是1到N,转换为0到N-1比较方便。同时需要处理多组输入的情况,引用[3]提到连续多组数据输入,但用户当前的问题可能只需要处理单组输入,但代码可能需要循环读取直到输入结束。不过根据用户的问题描述,可能只需处理单次输入。 然后,代码的结构大致如下:读取N和M,然后读取M条边,存储为边的列表。然后应用Kruskal或Prim算法计算最小生成的总权重,并检查是否连通。 以Kruskal为例,步骤是:初始化并查集,排序边,依次选择边并检查是否形成环,累计权重,直到选够N-1条边。如果最终选中的边不足N-1,返回-1。 在C语言中,需要处理动态数组的问题,因为M可能到3000,所以可以预先分配足够大的数组。例如,定义结构体Edge,包含u, v, weight。然后用qsort对边数组进行排序。 并查集实现中,find函数需要路径压缩,union操作需要按秩合并以避免过高,不过示例中的Python代码没有按秩合并,但在C中可以添加一个rank数组来优化。 此外,需要注意村庄编号从1开始的问题,在存储时转换为0开始的索引。 最后,测试代码是否正确处理无法连通的情况,比如当M不足以连接所有村庄时,返回-1。 可能的错误点包括:忘记处理输入中的村庄编号转换,并查集的实现错误,排序不正确,或者未检查生成边数是否为N-1。 因此,在编写代码时,需要仔细处理这些细节,并添加注释说明关键步骤。例如,在读取边的时候,将u和v都减1,以适应数组索引。并查集的初始化要正确,每个节点的父节点初始化为自己。在Kruskal算法中,每次选择边时检查两个节点是否属于同一个集合,如果不是,则合并,并累加权重。 最终,用户可能需要完整的C代码,所以需要提供一个结构清晰、注释充分的实现,确保正确处理各种情况,包括输入的有效性(比如N和M的值是否符合要求,但根据问题描述,可能假设输入是合法的)。</think>以下是根据您需求编写的C语言实现,包含**Kruskal算法**和**Prim算法**两种解法的完整代码及详细注释: --- ### 一、Kruskal算法实现 #### 代码实现 ```c #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define MAX_EDGES 3000 #define MAX_NODES 1000 typedef struct { int u, v, weight; } Edge; Edge edges[MAX_EDGES]; int parent[MAX_NODES]; // 比较函数用于边排序 int compare(const void* a, const void* b) { return ((Edge*)a)->weight - ((Edge*)b)->weight; } // 并查集:路径压缩查找 int find(int x) { if (parent[x] != x) { parent[x] = find(parent[x]); } return parent[x]; } // 并查集:合并集合 int union_set(int x, int y) { int root_x = find(x); int root_y = find(y); if (root_x != root_y) { parent[root_y] = root_x; return 1; // 合并成功 } return 0; // 已属于同一集合 } int kruskal(int n, int m) { qsort(edges, m, sizeof(Edge), compare); // 按权重升序排序 for (int i = 0; i < n; i++) parent[i] = i; // 初始化并查集 int total_cost = 0, selected_edges = 0; for (int i = 0; i < m; i++) { int u = edges[i].u - 1; // 输入编号1~N转为0~N-1 int v = edges[i].v - 1; if (union_set(u, v)) { total_cost += edges[i].weight; selected_edges++; if (selected_edges == n - 1) break; // 已选足够边 } } return (selected_edges == n - 1) ? total_cost : -1; } int main() { int n, m; scanf("%d %d", &n, &m); for (int i = 0; i < m; i++) { scanf("%d %d %d", &edges[i].u, &edges[i].v, &edges[i].weight); } int result = kruskal(n, m); printf("%d\n", result); return 0; } ``` --- ### 二、Prim算法实现 #### 代码实现 ```c #include <stdio.h> #include <limits.h> #define MAX_NODES 1000 #define INF INT_MAX int graph[MAX_NODES][MAX_NODES]; // 邻接矩阵 int key[MAX_NODES]; // 顶点到生成的最小边权 int visited[MAX_NODES]; // 顶点是否已加入生成 int prim(int n) { for (int i = 0; i < n; i++) { key[i] = INF; visited[i] = 0; } key[0] = 0; // 从第一个顶点开始 int total_cost = 0; for (int count = 0; count < n; count++) { int u = -1, min_key = INF; // 寻找未访问的最小key顶点 for (int v = 0; v < n; v++) { if (!visited[v] && key[v] < min_key) { min_key = key[v]; u = v; } } if (u == -1) return -1; // 存在不连通的顶点 visited[u] = 1; total_cost += key[u]; // 更新相邻顶点的key值 for (int v = 0; v < n; v++) { if (graph[u][v] && !visited[v] && graph[u][v] < key[v]) { key[v] = graph[u][v]; } } } return total_cost; } int main() { int n, m, u, v, w; scanf("%d %d", &n, &m); for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { graph[i][j] = 0; // 初始化邻接矩阵 } } for (int i = 0; i < m; i++) { scanf("%d %d %d", &u, &v, &w); u--; v--; // 输入编号1~N转为0~N-1 graph[u][v] = graph[v][u] = w; } int result = prim(n); printf("%d\n", result); return 0; } ``` --- ### 三、代码说明 | 特性 | Kruskal算法实现 | Prim算法实现 | |-------------|------------------------------|------------------------------| | **时间复杂度** | $O(M \log M)$(排序主导) | $O(N^2)$(适合稠密图) | | **空间复杂度** | $O(M)$ | $O(N^2)$(邻接矩阵存储) | | **输入处理** | 直接读取边列表 | 需要构建邻接矩阵 | | **适用性** | 稀疏图($M \ll N^2$时优先) | 稠密图($M$接近$N^2$时优先) | --- ### 四、关键注意事项 1. **输入编号转换**:村庄编号从1开始,代码中统一转换为0开始的索引[^2] 2. **连通性判断**:Kruskal通过边计数判断,Prim通过未访问顶点检测判断 3. **性能对比**:当$N=1000$时,Prim的$O(N^2)$时间约为$10^6$次操作,在OJ系统中通常可接受[^4] --- ### 五、测试案例 **输入**: ``` 4 5 1 2 10 1 3 6 1 4 5 2 4 15 3 4 4 ``` **输出**: ``` 19 ``` **解释**:选择边3-4(4)、1-4(5)、1-2(10),总成本19 ---
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