（二）随机变量的数字特征：探索概率分布的关键指标

🍋1. 随机变量的数学期望

🍋1.1 离散型随机变量的数学期望

• 0-1分布

0-1分布是一种二值分布，表示事件发生与否的概率，通常用p表示成功的概率，1-p表示失败的概率。其数学期望为E(X) = p。

• 二项分布

二项分布描述了n次独立重复的二值试验，其中每次试验成功的概率为p。其数学期望为E(X) = np。

• 泊松分布

泊松分布适用于描述单位时间或空间内随机事件发生的次数，如电话呼叫、到达客户等。其数学期望为E(X) = λ，其中λ表示单位时间或空间内平均发生的次数。

• 几何分布

几何分布用于描述在n次独立重复的伯努利试验中首次成功发生的次数。其数学期望为E(X) = 1/p，其中p表示每次试验成功的概率。

🍋1.2 连续型随机变量的数学期望

• 均匀分布

均匀分布在区间[a, b]内等可能地取任何值。其数学期望为E(X) = (a + b) / 2。

• 指数分布

指数分布描述了连续事件发生的时间间隔，其数学期望为E(X) = 1/λ，其中λ为事件发生率。

• 正态分布

正态分布是自然界中最常见的分布之一，其数学期望为E(X) = μ，其中μ为均值。

🍋2. 随机变量函数的数学期望

🍋2.1 一维随机变量函数的数学期望

假设我们有一个一维随机变量 X，以及一个实值函数 g(X)。一维随机变量函数 g(X) 的数学期望，通常表示为 E[g(X)]，是对该函数在随机变量 X 上的期望值。具体计算方法如下：

对于离散型随机变量 XX，数学期望 E[g(X)]E[g(X)] 的计算方法为：
E[g(X)]=x∑​g(x)P(X=x)

其中，∑x表示对所有可能的取值 x 求和，P(X=x) 是 X 等于 x 的概率质量函数。

对于连续型随机变量 X，数学期望 E[g(X)] 的计算方法为：
E[g(X)]=∫g(x)f(x)dx

其中，∫ 表示对所有可能的取值 x 进行积分，f(x) 是 X 的概率密度函数。

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