Codeforces 1142C U2 凸包

最新推荐文章于 2023-12-02 17:49:47 发布

Spy97

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分类专栏：计算几何 Codeforces 思维文章标签： Codeforces 1142C U2

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/nudt_spy/article/details/89785151

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博客针对Codeforces 1142C题目给出题解与代码。通过对抛物线方程移项，将问题转化为直线方程。若点在抛物线内部，则对应点在直线上方。最终把问题转化为在n个点中连接若干点，使所有点在直线下方，即求凸包的上半部分。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

在这里插入图片描述

题解

对于 $x_1,y_1),(x_2,y_2)$ 确定的抛物线
$y1=x12+b×x1+cy2=x22+b×x2+cy_1=x_1^2+b\times x_1+c \\ y_2=x_2^2+b\times x_2+c$
移项后
$y1−x12=b×x1+cy2−x22=b×x2+cy_1-x_1^2=b\times x_1+c \\ y_2-x_2^2=b\times x_2+c$

令 $z_i=y_i-x_i^2$ ，得
$z1=b×x1+cz2=b×x2+cz_1=b\times x_1+c \\ z_2=b\times x_2+c$
可以解出直线
$z=b×x+cz=b\times x+c$
若点 $(x^{'}, y^{'})$ 在抛物线内部，一定满足
$y′−x′2>b×x′+cy'-x'^2>b\times x'+c$
即点 $(x, y)$ 在直线 $z=b×x+cz=b\times x+c$ 上方
问题转化为，在 $n$ 个点 $x_i,y_i-x_i^2)$ 中，链接若干个点，使得所有点都在直线的下方，思考后发现，就是找凸包的上半部分

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define N 1000010
#define INF 0x3f3f3f3f
#define eps 1e-10
// #define pi 3.141592653589793
// #define P 1000000007
#define LL long long
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define cl clear
#define si size
#define lb lower_bound
#define ub upper_bound
#define mem(x) memset(x,0,sizeof x)
#define sc(x) scanf("%d",&x)
#define scc(x,y) scanf("%d%d",&x,&y)
#define sccc(x,y,z) scanf("%d%d%d",&x,&y,&z)
using namespace std;
typedef pair<int,int> pp;
struct Point
{
    LL x,y;
    bool operator < (const Point &a)const
    {return (x-a.x)<0 || ((x-a.x)==0 && (y-a.y)<0);}
    Point(LL x=0,LL y=0):x(x),y(y){ }
}a[N],b[N];
typedef Point Vector;
Vector operator - (Vector a,Vector b){return Vector(a.x-b.x,a.y-b.y);}
LL Cross(Vector a,Vector b){return a.x*b.y-a.y*b.x;} //叉积
//凸包
/***************************************************************
* 输入点数组p， 个数为p， 输出点数组ch。 返回凸包顶点数
* 希望凸包的边上有输入点，把两个<= 改成 <
* 高精度要求时建议用比较
* 输入点不能有重复点。函数执行完以后输入点的顺序被破坏
****************************************************************/
int ConvexHull(Point *p, int n, Point* ch) {
    sort(p, p+n);      //先比较x坐标，再比较y坐标
    int m = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        while(m > 1 && Cross(ch[m-1] - ch[m-2], p[i]-ch[m-2]) >= 0) m--;
        ch[m++] = p[i];
    }
    return m;
}

int main()
{
	int n;
	sc(n);
	for (int i=0;i<n;i++){
		LL x,y;
		scanf("%I64d%I64d",&x,&y); a[i]=Point(x,y-x*x);
	}
	int t=ConvexHull(a,n,b);
	if (b[0].x==b[1].x) t--;
	cout<<t-1;
}