#1296 约瑟夫问题

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描述

小Hi和小Ho的班级正在进行班长的选举，他们决定通过一种特殊的方式来选择班长。
首先N个候选人围成一个圈，依次编号为0..N-1。然后随机抽选一个数K，并0号候选人开始按从1到K的顺序依次报数，N-1号候选人报数之后，又再次从0开始。当有人报到K时，这个人被淘汰，从圈里出去。下一个人从1开始重新报数。
也就是说每报K个数字，都会淘汰一人。这样经过N-1轮报数之后，圈内就只剩下1个人了，这个人就作为新的班长。
举个例子，假如有5个候选人，K=3：
初始
0: 0 1 2 3 4
从0号开始报数，第1次是2号报到3
1: 0 1 - 3 4 // 0 1 2, 2号候选人淘汰
从3号开始报数，第2次是0号报到3
2: - 1 3 4 // 3 4 0, 0号候选人淘汰
从1号开始报数，第3次是4号报到3
3: 1 3 - // 1 3 4, 4号候选人淘汰
从1号开始报数，第4次是1号报到3
4: - 3 // 1 3 1, 1号候选人淘汰

对于N=5,K=3的情况，最后当选班长的人是编号为3的候选人。
小Ho：小Hi，我觉得当人数和K都确定的时候已经可以确定结果了。
小Hi：嗯，没错。
小Ho：我也想当班长，小Hi你能提前告诉我应该站在哪个位置么？
小Hi：我可以告诉你怎么去求最后一个被淘汰的位置，不过具体的值你得自己去求解。
小Ho：嗯，没问题，那么你快告诉我方法吧！

约瑟夫问题：
小Hi：这个问题其实还蛮有名的，它被称为约瑟夫的问题。
最直观的解法是用循环链表模拟报数、淘汰的过程，复杂度是O(NM)。
今天我们来学习两种更高效的算法，一种是递推，另一种也是递推。第一种递推的公式为：
令f[n]表示当有n个候选人时，最后当选者的编号。
f[1] = 0
f[n] = (f[n - 1] + K) mod n

接下来我们用数学归纳法来证明这个递推公式的正确性：
(1) f[1] = 0
显然当只有1个候选人时，该候选人就是当选者，并且他的编号为0。
(2) f[n] = (f[n - 1] + K) mod n
假设我们已经求解出了f[n - 1]，并且保证f[n - 1]的值是正确的。
现在先将n个人按照编号进行排序：
0 1 2 3 … n-1
那么第一次被淘汰的人编号一定是K-1(假设K < n，若K > n则为(K-1) mod n)。将被选中的人标记为”#”：
0 1 2 3 … K-2 # K K+1 K+2 … n-1
第二轮报数时，起点为K这个候选人。并且只剩下n-1个选手。假如此时把k+1看作0’，k+2看作1’…
则对应有：
0 1 2 3 … K-2 # K K+1 K+2 … n-1
n-K’ n-2’ 0’ 1’ 2’ … n-K-1’
此时在0’,1’,…,n-2’上再进行一次K报数的选择。而f[n-1]的值已经求得，因此我们可以直接求得当选者的编号s’。
但是，该编号s’是在n-1个候选人报数时的编号，并不等于n个人时的编号，所以我们还需要将s’转换为对应的s。
通过观察，s和s’编号相对偏移了K，又因为是在环中，因此得到s = (s’+K) mod n。
即f[n] = (f[n-1] + k) mod n。

该算法的时间复杂度为O(N)，空间复杂度为O(1)。对于N不是很大的数据来说，可以解决。
小Ho：要是N特别大呢？
小Hi：那么我们就可以用第二种递推，解决的思路仍然和上面相同，而区别在于我们每次减少的N的规模不再是1。
同样用一个例子来说明，初始N=10,K=4:
初始序列：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
当7号进行过报数之后：
0 1 2 - 4 5 6 - 8 9
在这里一轮报数当中，有两名候选人退出了。而对于任意一个N,K来说，退出的候选人数量为N/K(“/”运算表示整除，即带余除法取商)
由于此时起点为8，则等价于：
2 3 4 - 5 6 7 - 0 1
因此我们仍然可以从f[8]的结果来推导出f[10]的结果。
但需要注意的是，此时f[10]的结果并不一定直接等于(f[8] + 8) mod 10。
若f[8]=2，对于原来的序列来说对应了0，(2+8) mod 10 = 0，是对应的；若f[8]=6，则有(6+8) mod 10 = 4，然而实际上应该对应的编号为5。
这是因为在序列(2 3 4 - 5 6 7 - 0 1)中，数字并不是连续的。
因此我们需要根据f[8]的值进行分类讨论。假设f[8]=s，则根据s和N mod K的大小关系有两种情况：
1) s < N mod K : s’ = s - N mod K + N
2) s ≥ N mod K : s’ = s - N mod K + (s - N mod K) / (K - 1)
此外还有一个问题，由于我们不断的在减小N的规模，最后一定会将N减少到小于K，此时N/K=0。
因此当N小于K时，就只能采用第一种递推的算法来计算了。

改进后的算法可以很快将N的规模减小到K，对于K不是很大的问题能够快速求解。
实现代码（ac）

import java.util.Scanner;


public class Joseph {
public static int joseph(int n, int k) {
int res;
if (n == 1)
return 0;
if (n < k) {
res = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++)
res = (res + k) % i;
return res;
} else {
res = joseph(n - n / k, k);
if (res < n % k)
res = res - n % k + n;
else
res = res - n % k + (res - n % k) / (k - 1);
}
return res;
}


public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int N = sc.nextInt();
for (int i = 0; i < N; i++) {
int num = sc.nextInt();
int k = sc.nextInt();
System.out.println(joseph(num, k));
}
}
}