考场安排－－－图的着色原理之运用

考场安排

姓名：杨小华 

【问题描述】

设学校共有n门课，需要进行期末考试，因为不少学生不止选修一门课程，所以不能把

同一个学生选修的两门课程安排在同一场次进行考试，问学期的期末考试最少需多少场次考

完？(提示：如果两门课被同一个同学选上，则表示这两门课的顶点之间存在一条边)。

试设计一算法，当给定一个图时G=（V，E），|V|=n，（V i，V j） ЄE，当且仅当有一个同学选了课程i和课程j，试给出一个考试安排方案N 1，N 2，N 3…Nk，N s∩Nt=Φ（s≠t，1≤s，t≤k）且V=N _i(1≤i≤k)。

【问题分析】

本问题可转换成是对一平面图的顶点着色问题判定，既采用回溯法求解。将所选的每门课程变成一个结点，若一个同学选了m(1≤m≤n)门课程时，则这m门课程所对应的结点互相用一条边连接起来。则相邻边的顶点不能着同一种颜色，既不能安排在同一场次考试。但本题又不同于m-着色问题，而是要求最少场次考完，故本问题是求min-着色问题，既所有的顶点最少可用多少种颜色来着色，则本问题可解。

【数据结构】

图的邻接矩阵test[ MAX][ MAX]来表示一个图G，其中若（i，j）是G的一条边，则test[i][j]= test[j] [i] =1，否则test[i][j]= test[j] [i] =0，因为本问题只关心一条边是否存在，所以用邻接矩阵。颜色总数用总课程数目表示。生成解则用数组value[ MAX]来记录，其中value[ i]是结点i的颜色，既课程i可安排在第value[ i]场考试，result[ MAX]用来记录最优解。程序中N表示课程总数，minSum表示最少的考试场次。

【算法设计与分析】

函数init（）是从testArrange.in中读取数据，并建立对应的邻接矩阵，对于本程序所给出的样例第一组数据的邻接矩阵为图1，平面图为图2。

函数nextValue（k）是生成下一种颜色，进入此过程前value[ 1] ，value[ 2]……value[ k-1]以分得了颜色且相邻边的结点有不同的颜色。本过程在区域[1，N]中给value[k]确定一个值，如果还剩下一些颜色，它们与结点K邻接的结点分配的颜色不同，那么就将其中最高标值的颜色分配给结点K，如果没有剩下一些颜色，则置value[ k]=0。

函数testArrange（）是考试方案的一个递归回溯算法，它计算并找出最少场次解。如果没有可用的颜色了，则回溯。给结点K分配颜色后，此时统计已分配的颜色数目，如果大于minSum的值，则进行剪枝，并回溯。在最初调用testArrange（1）之前，以对图的邻接矩阵置初值并对数组value[ MAX]置0值。                                                                                                                                    

函数count（）是对已分配的颜色数目进行统计。

函数print（）是打印考试场次安排方案。

对于每一个内结点，在最坏情况下，函数nextValue（）检查当前扩展结点的每一个儿子结点所相应的颜色的可用性需耗时 O（n ²），因此，回溯算法总的时间耗费 Σn ⁱ（n ²）=n ²（n ⁿ-1）/（n-1）= O（n ⁿ⁺¹）

【程序清单】

#include<stdio.h>

#include<stdlib.h>

#include<string.h>

#defi