数论浅谈

符号定义

在数论中，有许许多多的符号需要我们知道，比如这些：
$\varphi (p)$,它表示，在比p小且与p互质的个数
(a,b),表示a和b的最大公因数
[a,b],表示a和b的最小公倍数
n!,表示1~n这n个数相乘
鉴于无法使用向下取整，
目前，我们只需要用到这些符号

欧拉定理

定理

$$a^{\varphi (p)}\equiv 1(modp)$$

证明过程

我们设n=$\varphi (p)$,{b|0<b<p且(b,p)=1}
我们容易知道，任意bi不等于bj(i,j<=n),所以$a\times bi不等于a\times bj$，且(a*bj,p)=1
这时，我们又要引入一个定理
$$若(a,p)=1,则(amodp,p)=1$$
这个就留给读者自己证明了
所以我们再创造一个数组c吧，{c|$a\times bi(modp)$,1<=i<=n}
我们就可以知道c数组和b数组错位相等
为什么呢？因为c数组中每个数必定与p互质，而b数组中包含了每个小于p且与p互质的数，所以两个集合必定相等
所以c数组每个数相乘和b数组每个数相乘模p的值应该相等，即:
$$\begin{gathered} a^{\varphi (p)}\times \\ b1\times \\ b2\times \\ \dots \dots \times \\ bn\equiv b1\times \\ b2\times \\ \dots \dots \times \\ bn(modp) \end{gathered}$$
所以
$$a^{\varphi (p)}\equiv 1(modp)$$
证毕

完全分解定理

完全分解定理十分简单，就是说一个数可以分解为如下形式，即:
$$\begin{gathered} a=w_1^{a_1}\times \\ {w}_2^{a_2}\times \\ \dots \dots \times \\ {w}_p^{a_p} \end{gathered}$$
其中，每个w数组中的值都为质数
这个东西显然成立，我就不多说了

组合数学

组合数学，是属于高中数学范围内的知识，他一般的形式就是从n个树中选出m个，问有多少种选法
我们定义两个数学符号，A，C
A表示从n个数中选m个，选出来要排序，问有多少种方法，C表示从n个数中选m个，选出来不排序，问有多少种做法
这个有计算公式，$A(n,m)=\frac{n!}{(n-m)!}$,$$\begin{gathered} C(n,m)=\frac{n!}{m!\times \\ (n-m)!} \end{gathered}$$
我们以A(n,m)为例，选第一个可以有n个选择，选择第二个可以有(n-1)个选择，如此下去到第m个就有(n-m+1)个选择，把所有可能相乘，即为最终结果，就是:
$$\begin{gathered} n\times \\ (n-1)\times \\ (n-1)\times \\ \dots \dots \times \\ (n-m+1) \end{gathered}$$
即:
$$\frac{n!}{(n-m)!}$$
那C(n,m)就只需要把A(n,m)再除以m!,因为选出来要全排，就有m!种情况，所以再一除，就是C(n,m)
至于组合数学的16种经典题以后再说吧。

卢卡斯定理

定理

$$\begin{gathered} C(n,m)\equiv C([\frac{n}{p}],[\frac{m}{p}])\times \\ C(nmodp,mmodp)p为质数 \end{gathered}$$

证明过程

设$$\begin{gathered} m=a\times \\ p+b \end{gathered}$$,$$\begin{gathered} n=c\times \\ p+d \end{gathered}$$
即证，$$\begin{gathered} C(n,m)\equiv C(c,a)\times \\ C(d,b) \end{gathered}$$
即证，$$\begin{gathered} \frac{n!}{m!(n-m)!}\equiv \frac{c!\times \\ d!}{a!\times \\ b!\times \\ (c-a)!\times \\ (d-b)!}(modp) \end{gathered}$$
即证，$$\begin{gathered} m!\times \\ (n-m)!\times \\ c!\times \\ d! \end{gathered}$$$\equiv$$$\begin{gathered} n!\times \\ a!\times \\ b!\times \\ (c-a)!\times \\ (d-b)! \end{gathered}$$$(modp)$
1、若n、m皆大于等于p，则两边模p的值都为零，显然成立
2、若n大于等于p，则只需证C($$\begin{gathered} c\times \\ p+d \end{gathered}$$,b)$\equiv$$C(d,b)$(mod~p),这个显然成立，为什么，只需要将两边表示出来，十字相乘即可，读者可以自己思考
3、若n、m皆小于p，则即证C(b,d)$\equiv$C(b,d)$(modp)$,显然成立，证毕
所以，Lucas定理成立，证毕

辗转相除法求最大公因数

这个东西一开始起始于中国，它的原理十分简单
即，若a|b,a|c,则a|(|b-c))
所以，我们设(b,c)=a
则，a|(max(b,c)-min(b,c))
则a|(b mod c,c),假设b比c大
这样我们就可以用递归来实现
代码如下:

int gcd (int a,int b)
{
	if (a % b == 0) return b;
	else return gcd (b,a % b);
}

Legendre定理

定理

$$\begin{gathered} 设n!=p_1^{w_1}\times \\ p{2}^{w_2}\times \\ p{3}^{w_3}\times \\ \dots \dots \times \\ {p}_t^{w_t} \end{gathered}$$
其中，p1,p2，……,pt皆为质数
则，$w_i$=${\sum }_{j=1}^{p_i^j<=n}\lfloor \frac{n}{a^j}\rfloor$

应用好处

这样我们就不用把高精乘，高精除打出来了，而且大大减少了时间复杂度，在之后的一些题中是十分有用的