Codeforces Round #333 (Div. 2) E Kleofáš and the n-thlon

最新推荐文章于 2020-04-08 15:31:48 发布

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本文介绍了一种使用概率动态规划方法解决特定竞赛排名问题的算法。问题要求计算一名选手在多轮比赛后的期望排名，通过构建概率DP模型并利用前缀和优化，实现了高效的求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

上课时间突然毒瘾发作，于是掏出笔记本切掉了这题，我好兴奋啊.jpg

题意：m个人进行n轮比赛，在每轮比赛中，所有人的得分是一个1~m的排列，最终得分是每一轮的分数之和。rank的定义是
得分严格小于你分数的人数+1。给出一个人在每一轮的得分，求他最终的期望rank。(n<=100,m<=1000)

首先注意到，直接求出某一个人的期望rank是非常困难的，而剩余的m-1个人是等价的，所以可以考虑求出其中某一个人的信息，进而推出答案。
很自然想到可以概率dp求出一个人最终得分小于你的得分的概率，然后乘上(m-1)就是分数小于你的人数期望，+1之后就是期望rank啦。
概率DP的状态是第now轮比赛后总分已经达到了score，记已经给出第now轮你的得分为ar[now]，那么其他人可以在这一轮获得1~m中不等于ar[now]的分数
$dp[now][score]=\sum_{i!=ar[now]} dp[now-1][score-i]/(m-1)$
状态数n*n*m,转移复杂度O(m)
之后注意到转移是一个求和的过程，所以可以用前缀和来处理，将转移优化到常数。

/* ***********************************************
Author        :axp
Created Time  :2016/11/17 10:48:44
TASK          :E.cpp
LANG          :C++
************************************************ */

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <string>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int inf = 1<<30;
const int md = 1e9+7;
const int N = 100+10;
const int M = 1e3+10;
int n,m;
int T;
int ar[N];
double dp[N][M*N];
double sum[N][M*N];

int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    int al=0;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&ar[i]),al+=ar[i];
    sum[0][0]=dp[0][0]=1;
    for(int j=0;j<=m*n;j++)sum[0][j]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=i;j<=m*n;j++)
        {
            int t=max(j-m,0);
            double p=sum[i-1][j-1];
            if(t)p-=sum[i-1][t-1];
            if(t<=j-ar[i] && j-ar[i]<=j-1)p-=dp[i-1][j-ar[i]];
            dp[i][j]=p/(m-1);
            //cout<<i<<' '<<j<<' '<<dp[i][j]<<endl;
            sum[i][j]=sum[i][j-1]+dp[i][j];
        }
    }
    double ans=0;
    for(int i=0;i<al;i++)
        ans+=dp[n][i];
    ans*=m-1;
    ans+=1;
    printf("%.11lf\n",ans);
    return 0;
}